文摘
本文是关于介绍两种搭配小波算法求解线性和非线性多点边值问题。主要想法获得光谱数值解这些方程采用第三和第四类型切比雪夫小波以及谱配置方法将微分方程及其边界条件的线性或非线性代数方程组未知的膨胀系数,可以有效地解决。收敛性分析和讨论了一些具体的数值例子验证了该算法的有效性和适用性。得到数值结果对比分析已知的解决方案。
1。介绍
谱方法是离散化的主要方法之一,微分方程的数值解。这些方法的主要优势在于它们的准确性对于给定数量的未知(见,例如,1- - - - - -4])。对于光滑的问题简单的几何图形,他们提供指数收敛率/光谱精度。相比之下,有限差分和有限元方法收益率只有代数融合率。三个最广泛使用的光谱版本是金,搭配,和τ方法。搭配方法(5,6)已成为越来越受欢迎的求解微分方程,也非常有用在提供高度精确解非线性微分方程。
许多实际问题中出现的众多分支科学和工程需要解决高并且和高奇数阶边值问题。勒让德多项式曾被用于获取数值光谱处理这类问题的一些解决方案(见,例如,7,8])。在[9),作者构造的一些算法通过选择合适的勒让德多项式求解组合high-odd-order边值问题的不同形式的援助Petrov-Galerkin方法,而在两篇论文(10,11),作者处理第三和基于微分方程利用雅可比τ和雅可比搭配方法。
多点边值问题(BVPs)出现在各种应用数学和物理。例如,拉线的振动均匀截面组成的地区不同密度可以设置多点BVP,如(12];此外,许多问题在弹性稳定理论可以由多点问题的方法(13]。解的存在性和多重性多点边值问题已经被许多作者研究;参见[14- - - - - -17)和引用。两点BVPs,有许多解决方案方法如正规化、不变嵌入算法,有限差分和搭配方法(见,18- - - - - -20.])。然而,似乎没有讨论多点边值问题的数值解。
二阶多点边值问题的数学建模(BVP)出现在悬臂梁的挠度下集中负荷(21,22),梁和板挠度变形理论(23[],障碍问题24],Troesch的问题有关的约束等离子体柱的辐射压力(25,26),梯形剖面(散热片的温度分布21,27),和其他一些工程应用。许多作者用数值近似方法来解决二阶BVPs。数值方法相关的细节中可以找到大量的论文(见,例如,21,23,24,28])。沃尔什小波和semiorthogonal b样条小波用于(23,29日)来构建解决方案的一些数值算法二阶BVPs狄利克雷和诺伊曼边界条件。Na (21]发现第二的数值解,第三,和四阶BVPs转换成初始值问题,然后应用一种方法如非线性射击,减少物理参数的方法,不变的嵌入方法,等等。本文提出的方法可以应用于BVPs和ivp略有修改,但没有BVPs转换为ivp,反之亦然。
小波理论是一种相对较新的和数学研究的一个新兴领域。它已经被应用于广泛的工程学科;尤其是小波非常成功地用于信号分析波形表示和分割,时间频率分析和快速算法容易实现。小波许可证的准确表示不同的函数和运算符。此外,小波和快速的数值算法,建立连接(见[30.,31日])。
勒让德的应用小波求解微分和积分方程是彻底被许多作者(见,例如,32,33])。同时,切比雪夫小波用于解决一些分数和积分方程(见,34,35])。
切比雪夫多项式变得越来越重要在数值分析中,从理论和实践的观点。众所周知,有四个种类的切比雪夫多项式,它们是特殊情况下的广义雅可比多项式类。第一和第二种是对称的雅可比多项式的特殊情况(即。,ultraspherical polynomials), while the third and fourth kinds are special cases of the nonsymmetric Jacobi polynomials. In the literature, there is a great concentration on the first and second kinds of Chebyshev polynomials和和他们不同的使用在许多应用程序中,(见,例如,(36])。然而,很少有文章集中在另两种类型的切比雪夫多项式,即第三和第四种和,无论是从理论还是实践的角度和他们的使用在不同的应用程序(见,例如,(37])。这激励我们这些多项式的兴趣。因此,我们打算在这工作的应用程序中使用它们的多点BVPs产生物理。
有几个优势利用切比雪夫小波近似的基础上搭配谱方法。首先,与大多数数值技术,现在好了,他们的特点是指数衰减的错误。第二,近似小波处理奇异点的问题。任何这样的奇异点的影响会出现某种形式的数值解的任何计划,和其他众所周知,表现不佳的数值方法在奇点附近。最后,由于其快速收敛,切比雪夫小波搭配方法不遭受与其他数值方法相关的常见的不稳定问题。
本文的主要目的是开发两个新谱算法求解二阶多点BVPs基于转移第三和第四类型切比雪夫小波。该方法减少了微分方程及其边界条件的代数方程组系数未知的扩张。大型代数方程组可能导致更大的计算复杂度和存储需求。然而,第三和第四类型切比雪夫小波配置方法大大降低了求解所得到的代数系统的计算复杂度。
论文的结构如下。节2,我们给出一些相关属性的切比雪夫多项式第三和第四种及其转移的。节3,第三和第四类型切比雪夫小波的构造。另外,在本节中,我们确定切比雪夫小波级数的收敛性。两个新的转移切比雪夫小波搭配方法求解二阶线性和非线性多点边值问题和提出了部分实现4。节5,给出了一些数值例子显示了算法的效率和适用性。在一节中给出了一些结论6。
2。的一些性质和
的切比雪夫多项式和第三和第四种多项式的学位在分别定义(见[38]) 在哪里;他们也可以获得明确两个特定情况下的雅可比多项式两个非对称情况下对应。明确地, 它很容易看到 因此,它足以建立属性和关系然后推导出相应的属性和关系(通过替换通过)。
的多项式和上是正交的;也就是说, 在哪里 他们可能通过使用生成两个递推关系 的初始值 的初始值
移位的切比雪夫多项式的第三和第四类上定义分别为 所有结果的切比雪夫多项式的第三和第四类可以很容易地转化为相应的转移的结果。
的正交关系和在是由 在哪里
3所示。了第三和第四类型切比雪夫小波
小波构成的家庭功能由单一函数的膨胀和翻译称为母小波。当膨胀参数和翻译参数不断变化,然后我们有以下家庭连续小波: 每个第三和第四类型切比雪夫小波有四个参数:,多项式的顺序吗或,是归一化的时间。他们定义明确的时间间隔作为
3.1。函数逼近
一个函数定义在可以扩展的切比雪夫小波 在哪里 和重量,给出了(12)。
假设可以近似用切比雪夫小波
3.2。收敛性分析
在本节中,我们国家和证明一个定理确定第三和第四类型切比雪夫函数的小波扩张有界的二阶导数,一致收敛。
定理1。假设一个函数,与第三类的,可以扩展为一个无穷级数切比雪夫小波;那么这个级数收敛一致。明确,膨胀系数(16)满足如下不等式:
证明。从(16),它遵循 如果我们利用替换在(19),然后我们得到 反过来,执行分部积分两次后,收益率 在哪里 现在,我们有 最后,由于,我们有
备注2。的估计(18)也是有效系数的第四类型切比雪夫小波扩张。证明类似于定理的证明1。
4所示。解决多点BVPs
在本节中,我们提出两个切比雪夫小波搭配方法,即第三类切比雪夫小波搭配方法(3 cwcm)和第四类型切比雪夫小波(4 cwcm)搭配方法,数值求解以下多点边值问题(BVP): 在哪里,,分段连续在;可能等于零;;;,,,,是常数,;是一个非线性函数的,是一个非线性函数在吗。
考虑一个近似解(25)和(26),用切比雪夫给出小波 然后替换的(27)(25)使一个写剩余的(25)的形式 现在,应用程序的典型搭配方法(见,例如,5)给 在哪里是第一个的根或。此外,使用边界条件(26)给 方程(29日)和(30.)生成方程中未知的膨胀系数,,可以解决借助著名的牛顿迭代法。因此,我们得到了所需的近似解由(27)。
5。数值例子
在本节中,提出了算法部分4应用于解决线性和非线性多点BVPs。一些例子是为了说明提出的两个算法的效率和适用性。
例1。考虑二阶非线性BVP(见[6,28): 提出的两个方法是应用于案例对应的问题和。数值的解决方案如表所示1。由于nonavailability的精确解,我们比较我们的结果与Haar小波方法(6),ADM的解决方案(28从Mathematica)和常微分方程解算器是由使用龙格-库塔方法。这也比较见表1。
例2。考虑二阶线性BVP(见[39,40): 问题的精确解(32)是由 在表2,最大绝对误差上市的和不同的价值观,而在表3,我们给出一个比较最好的错误导致的各种方法的应用例子2,而在图1,我们给出一个比较准确的解决方案(32)和三个近似的解决方案。
例3。考虑二阶奇异非线性BVP(见[40,41): 与精确解。在表4,最大绝对误差上市的和不同的价值观,而在表5我们给比较最好的错误导致的各种方法的应用例子3。这个表显示我们两个算法更准确如果与开发的两种方法相比40,41]。
例4。考虑二阶非线性BVP(见[42): 在哪里 确切的解决方案(35)是由。在表6,最大绝对误差上市的和不同的价值观,在表7我们给出一个比较最好的错误导致的各种方法的应用例子4。这个表显示我们两个算法更准确如果开发方法相比42]。
例5。考虑二阶奇异线性BVP: 在哪里 和选择这样的精确解(37)是。在表8,最大绝对误差上市的和不同的价值观,而在图2,我们给出一个比较准确的解决方案(37)和三个近似的解决方案。
例6。考虑下面的非线性二阶BVP: 与精确解。我们解决(39)使用3 cwcm相对应的案例和获得的近似解。如果我们利用(27),然后近似解可以扩展的第三类切比雪夫小波作为吗 如果我们将 然后(42)降低表单 如果我们用(44)(39),然后剩余的(39)是由 我们执行剩余的第一根消失,即在,让 此外,使用边界条件(40)和(41)的收益率 非线性系统的解决方案(46)和(47)给 因此 这是确切的解决方案。
备注3。这里值得注意的是,得到数值结果在前面解决六个例子非常准确,尽管保留在光谱扩张模式的数量很少,而且计算结果与已知的解析解比较有利。
6。结束语
在这篇文章中,两种算法获取数值光谱二阶小波解多点线性和非线性边值问题进行了分析和讨论。切比雪夫多项式第三和第四种。开发算法的优点之一是奇异边值问题的应用程序的可用性。另一个优势是,高精确的近似解是通过使用一些数量的近似展开式。所得数值结果与分析的比较有利。
承认
作者要感谢裁判对他有价值的意见和建议,提高了纸在其目前的形式。