文摘

我们研究修改后的梅林变换某些广义函数的函数空间。我们第一次获得古典和分布的卷积定理修改梅林变换。然后我们描述的领域和范围空间扩展修改变换是定义良好的。一致性、卷积分析性,连续性,提出变换建立了足够的定理。一个反演公式也获得许多属性。

1。介绍

梅林变换 适当的限制功能 是定义在复平面的一些带1],许多变换属性是通过改变变量应用到各种各样的拉普拉斯变换的性质。梅林变换是扩展到分布在1]和Boehmians [2]。

结合傅里叶梅林变换,得到变换叫做Fourier-Mellin变换在数字信号有很多应用,图像处理,船舶目标识别声纳系统和雷达信号。

修改后的梅林变换的适当限制功能 在 介绍了由[3] 作为一个尺度不变的变换。早些时候,将修改后的梅林变换与傅里叶变换给出了Fourier-modified梅林变换(316),方程。

两个函数的卷积Mellin-type产品 和 是由 从[1)指出 利用卷积Mellin-type产品下面的定理对我们下一个调查至关重要。

定理1(卷积定理)。让 勒贝格可积的函数和空间 ;然后 在哪里 和 Mellin-type和梅林变换的 和 ,分别。

证明。梅林,梅林的定义和修改转换 采用Fubinis定理,然后替换 一起建立了简单的计算 因此,定理证明。

2。修改梅林变换的分布

让 是光滑的空间功能 在 这样,1] 是有限的, ,在那里 和 。

然后 是线性空间根据复数加法和乘法。 也可以生成的multinorms吗 将是一个可数multinormed空间。

表示由 完整的强对偶空间 ;然后分配弱拓扑。让 光滑函数的空间 ;然后对任何 , 是密集的 和拓扑分配 比,感应 通过 和子空间的标识 。

简单的结论是,内核函数 的 是一个成员 为 。

这通常会导致以下定义:让 ;然后分布变换 的 被定义为 在哪里 和 。

定理2(分析性定理)。让 ;然后 是分析和 在哪里 非负整数, 。

对读者很容易看到 是单射和线性的 成 。

Mellin-type卷积的产物 给药 在哪里 。

从(11很明显, 是一个成员 ,因为 。

因此,表示由 测试函数有界的空间支持 ;然后卷积的产物 和 可以给 在哪里 。

3所示。Boehmians

让 一组, 子群的 。我们假设每一对元素 和 分配的产品 这样(1)如果 ,然后 和 ;(2)如果 和 ,然后 ;(3)如果 , ,然后 让 是一个家族的序列 这样(1)如果 , ,然后 ,尽管 ;(2)如果 ,然后 。的元素 将被称为三角洲序列。

考虑到类 两个序列的定义 为每一个 。

一个元素 被称为商的序列,用吗 ,如果 ,尽管 。

两个商的序列 和 据说是等价的, ,如果 ,尽管 。

的关系 是一个等价的关系 。等价类包含 用 。这些被称为Boehmians等价类。所有Boehmians用的空间 。

两个Boehmians之和,由一个标量乘法可以定义在一个自然的方式 ,空间复杂的数字。

操作 和分化是由 和 。

操作 可以扩展到 如下。如果 和 ,然后

δ- - - - - -收敛性。一系列Boehmians 在 据说是 收敛到一个Boehmian 在 ,用 ,如果存在一个三角洲序列 这样

下面是等效的声明 融合: 在 当且仅当有 和 这样 , 对于每个 , 作为 在 。

一系列Boehmians 在 据说是 收敛到一个Boehmian 在 ,用 (如果存在) 这样 ,尽管 , 作为 在 。参见[2,5- - - - - -15]。

4所示。修改Boehmian梅林变换

在本节中,我们讨论修改后的梅林变换Boehmians的空间。考虑到集团 和 作为一个小组的 。让 之间的操作 和 和 组三角洲序列由(2](1) ,尽管 ;(2) ,尽管 ,对于一些 ;(3)增刊 ,尽管 对于一些 与 , 作为 。让 Boehmian空间获得 和 ;然后 将作为域空间的 。

我们的下一个目标是构造一个空间范围,说 ,因为

让 为 ,定义 我们有下面的定理。

定理3。让 和 ,然后 。

证明。让 和 属于 和 ;分别。还有 和 这样 和 ,分别。因此,通过卷积定理和(19),我们得到 自 ,它是 。
因此我们已经证明定理。

定理4。让 ;然后 。

证明。根据定义的 我们可以找到 这样 和 。
因此,通过(1), 但自 ,我们得到 。因此我们有定理。

定理5。让 和 ;然后 和 。

证明。很简单。

定理6。让 在 ;然后 作为 在 。

证明。可以很容易地检查。

定理7。让 和 ;然后 作为 。

证明。由(19)我们有 在哪里 和 是这样的, 和 ,尽管 。
自 作为 在紧凑的子集 ,(22)意味着 ,尽管 ,因为 。因此我们得到定理。

定理8。让 ;然后 。

让 ;然后考虑到这一事实 ,因为 ,这个定理。

Boehmian空间 因此构造。

此外,标量乘法、分化和操作 在 定义类似于通常的Boehmian空间。

每一个 可以确定的一员吗 作为 在哪里 。

定义9。梅林变换扩展修改 被定义为

定理10。扩展修改梅林变换是定义良好的。

证明。这个定理的证明是非常简单的。参见[11- - - - - -13]。

定理11(一致性定理)。梅林变换扩展修改 和分布是一致的吗 。

证明。对于每一个 ,让 是它的代表 ;然后 ,在那里 ,尽管 。那么很明显, 是独立的代表,对所有 。
因此 代表的是哪一个 在 。
因此我们有证据。

定理12(必要性定理)。让 ;的充分必要条件 是在的范围 是, 属于范围内的 对于每一个 。

证明。让 的范围 当然 属于的范围 ,尽管 。
建立对话,让 的范围 ,尽管 。然后是 这样 。
自 , 对所有 。因此, 在哪里 和 。
这一事实 是内射, ,意味着 。
因此 商的序列在吗 。因此, 和 因此,定理证明。

定理13(广义卷积定理)。让 和 ;然后

证明。假定定理满足的需求 和 ;然后使用定义9和操作 收益率 因此 这就完成了证明。

定理14。梅林变换扩展修改 是双射。

证明。假设 ;然后它遵循从被除数的序列的概念 。因此, 。的财产 是一个暗示吗 。因此, 旁边的证明 上,让 是任意的;然后 对于每一个 。因此 是这样的, ,尽管 。
因此,Boehmian 属于 和满足 这就完成了这个定理的证明。

现在我们介绍 的逆变换 ,在那里 对于每一个 。

定理15。让 和 ,然后

证明。我们证明(35)和省略的证明(36)由于其相似性。鉴于 和 这样 然后采用(34)的收益率 使用(19)给 因此,卷积定理 因此 第二部分是类似的证据。
这就完成了这个定理的证明。

定理16。 和 持续的对吗 收敛。

证明。让 在 作为 ;然后我们建立 作为 。让 和 在 这样 和 作为 对于每一个 。
的连续性 意味着 作为 。因此, 作为 在 。这证明了的连续性 。
接下来,我们 作为 ;然后我们有 和 对于一些 ,在那里 作为 。因此 作为 在 。也就是说, 作为 。
因此 作为 。
也就是说, 作为 。这就完成了证明。

定理17。 和 持续的对吗 收敛。

证明。让 在 作为 。然后,我们发现 和 这样 和 作为 。因此 因此, 作为 在 。
因此 因此, 作为 。
第二部分是类似的证据。详细证明如下。
最后,让 在 作为 ;然后我们可以找到 这样 和 作为 对于一些 。
接下来,我们有 因此,通过(34),我们得到 作为 在 。
因此 作为 。
因此,我们有 作为 在 。
这就完成了这个定理的证明。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者承认这项研究部分由马来西亚Putra大学下尔格1-2013/5527179。