文摘
一些新的振动准则给出一阶中立型时滞微分方程的变量系数。我们的结果推广和扩展的一些著名的文献中结果。一些例子是为了说明的主要结果。
1。介绍
近年来,中立型时滞微分方程的振动(简称ndd)得到了广泛关注和研究。这是一个相对较新的领域从现实世界与有趣的应用程序。事实上,ndd出现在建模的问题作为信息的转换,种群动态、包含无损传输线网络,和自动控制原理(见,例如,1- - - - - -4)和引用引用其中)。
考虑一阶NDDE的形式 在哪里
让。的解决方案(1),我们的意思是一个函数对于一些这样是连续可微的,(1)是满足相同。这种解决方案(1)据说是振荡如果任意大0和如果是最终建立最终正面或负面。NDDE (1)振荡如果其所有的解决方案都是振荡;否则,它被称为非振动。
最近,一些调查等(5- - - - - -7)关心的是振荡的出现以及NDDE的振动行为(1)。事实上,Zahariev Baĭnov [8)是中性的第一工作处理振动方程。ndd的振荡系统开发理论是由拉达和Sficas [9]。的振荡(1)当和和是常数,我们参考的文章的读者拉达和Schults [10],Sficas和Stavroulakis [11),Grammatikopoulos et al。12,张13],Gopalsamy和张14]。的振荡(1)当和等于一个常数,我们参考论文的读者Grammatikopoulos et al。15,张13),Gopalsamy和张14],和猎隼Elabbasy [16)和参考引用。Grammatikopoulos et al。6],拉达和Schults [10)、川西和拉达(17,18],Kubiaczyk和猎隼[19),和Karpuz奥贾兰(20.]认为NDDE (1)当,建立了一些新的振动结果按功能的价值。为进一步振荡的振荡行为结果的解决方案(1),我们的读者参考专著Győri和拉达(21)和Erbe et al。22以及论文的余et al。23),崔和古24],奥贾兰[25),断裂和Dahiya [26]。
这项工作的目的是找到一些一切解振动的充分条件的一阶NDDE (1)。
备注1。(i)当我们编写一个函数不等式我们假设它适用于所有足够大。
(2)不失一般性,我们将只处理(积极的解决方案1)。
在我们的主要结果的证明,我们需要以下著名的前题,可以发现在川西和拉达(17),Győri和拉达(21],Kulenovićet al。27]。
引理2。假设是一个积极的常数。让,假设
然后
(我)时滞微分不等式
没有最终正解;
(2)时滞微分不等式
最终没有消极的解决方案;
(3)先进的微分不等式
最终没有消极的解决方案;
(iv)先进的微分不等式
没有最终正解。
引理3。考虑到NDDE 在哪里,,,在(2)。假设 让是一个最终正解的方程和设置 然后以下陈述是真实的:(我) 最终是一个递减函数;(2)如果然后;(3)如果然后和。
引理4。假设(9),让是一个NDDE最终正解
在哪里,,。
集
然后(一)
是一个递减函数,要么
或
(b)以下语句是等价的:(我)(13)持有;(2)
;(3)
;(iv)
,。(c)以下语句是等价的:(我)(14)持有;(2)
;(3)
;(iv)
,。
2。主要结果
在本节中,我们给出一些新的充分条件NDDE的所有解决方案(1振荡)。
定理5。假设(2)和(9),,, 然后NDDE的每一个解决方案(1)是振荡。
证明。为了一个矛盾,假设(1)有一个最终正解对所有。集
然后通过引理3我们有
观察到
最终,我们发现
因此
集
这意味着。
用(20.)收益率为所有
或
鉴于(15)和引理2(3),它是不可能的(23)最终有一个消极的解决方案。这与这一事实和完成的证据。
例6。考虑NDDE 这里我们有 那么所有定理的假设5感到满意, 因此每一个解决方案(24)是振荡。
注7。定理5是一个程度上的17定理2],[15定理7]、[21,定理6.4.3]。
定理8。假设(2)和(9),, 然后NDDE的每一个解决方案(1)振荡。
证明。为了矛盾,假设(1)有一个最终正解对所有。集
然后通过引理3,接下去
作为,它遵循从(1),
把过去的不平等,我们获得
让
这意味着。
用(31日)收益率为所有
鉴于引理2(我)和(27),是不可能的(33)有一个最终正解。这与这一事实和完成的证据。
示例9。考虑到NDDE 注意,所有定理的假设8感到满意: 因此每一个解决方案(34)是振荡。
备注10。定理8是一个程度上的17定理3]和[21,定理6.4.2]。
定理11。假设(2)持有,,被周期, 然后NDDE的每一个解决方案 振荡。
证明。为了矛盾,假设(37)有一个最终正解对所有。集 直接替换,它很容易看到和也是解决方案(37)。也就是说, 由引理4,减少,(13)或(14)持有。在这两种情况下我们声称 的确, 此外,我们通过引理4,只要, 使用(41)(40)意味着 或 自是周期的,我们发现 或 鉴于引理2((i)和(iv))和(36),是不可能的(46)和(47)最终正解。这与这一事实和完成的证据。
评论12。定理11延伸(158 - 10],定理。参见[21,定理6.4.4]。
承认
这项研究已经完成的支持下这些赠款:ukm - dlp - 2011 - 049,下降- 2012 - 31日和德意志联邦共和国/ 1/2012 / SG04 / ukm / 01/1。