文摘

1986年,马修斯在混乱的度量空间中广义压缩映射定理比度量空间是一个更广泛的空间。在本文中,我们建立了常见的一类收缩映射不动点定理。我们的结果扩展在混乱的度量空间中相应的其他作者。

1。介绍

不动点理论是非线性分析的一个重要分支,可以用于许多分支学科,如控制理论、凸优化、微分包含,和经济学。巴拿赫是一个著名的不动点定理在完备度量空间收缩映射的关键结果的分析。Dass和古普塔(1在度量空间广义压缩映射。还罗迪斯[2)建立了一个局部订购各种收缩映射的定义。度量空间的概念,作为一个环境空间的不动点理论,广义在几个方向。这样的概括是脱臼的一些空间,quasimetric空间,脱臼quasimetric空间,和广义quasimetric空间。错位的概念空间是由不同作者区别对待。马修斯(3]在混乱的度量空间中广义压缩映射定理。Hitzler [4)提出了变异的巴拿赫收缩原则为各种修改形式的一个度量空间包括脱臼度量空间和应用逻辑的语义分析程序。在这种背景下,Hitzler和丝绸5)提出了一些相关问题的拓扑方面脱臼指标。2005年,Zeyada et al。6推广一个在混乱的quasimetric空间中不动点定理。2008年,梅和Salunke [7证明一些结果混乱quasimetric空间中不动点。最近,Isufati [8为收缩类型]证明了不动点定理条件与理性表达混乱quasimetric空间。在本文中,我们研究了映射经由夏大丰和获得在混乱的度量空间中不动点定理。不动点定理,请参阅[9,10]。下面的定义是由夏et al。11]。

定义1(见[11])。让 。让 , 满足以下:(1)如果 ,然后存在 ,这样 ;(2)如果 ,然后存在 ,这样 。

定理2(见[11])。让 完备度量空间,让 是连续映射, ,这样 或 然后 有一个独特的公共不动点。

2。预赛

定义3(见[6])。让 是一个非空的设置,让 一个名为一个距离函数的函数。如果对所有 ,(1)nonnegativity: ;(2)忠诚: ;(3)三角不等式: ,所以,在这里 是一个quasimetric , 被称为quasimetric空间。

定义4(见[6])。让 是一个非空的设置,让 一个名为一个距离函数的函数。如果对所有 ,(1)nonnegativity: ;(2)indistancy意味着平等: 意味着 ;(3)三角不等式: ,所以,在这里 被称为脱臼quasimetric还是 指标上 , 被称为脱臼quasimetric空间。

定义5(见[6])。让 是一个非空的设置,让 一个名为一个距离函数的函数。如果因为 ,(1)nonnegativity: ;(2)indistancy意味着平等: 意味着 ;(3)对称性: ;(4)三角不等式: ,所以,在这里 称为公制或脱臼 指标上 和这两 被称为脱臼度量空间。

定义6(见[6])。一个序列 在 度量空间(脱臼quasimetric空间) 被称为柯西序列,如果对于一个给定的 ,存在 这样 或 ;也就是说, 对所有 。

定义7(见[6])。一个序列 在 度量空间 据说是 聚合, 前提是 在这种情况下, 被称为 限制的 我们写 。

定义8(见[6])。一个 度量空间 被称为 推进如果每个 柯西序列 收敛对 在 。

引理9。每一个融合在一个序列 度量空间是一个柯西序列。

证明。让 是一个序列收敛一些 ,让 是任意给定。然后存在 与 对所有 。为 ,然后我们获得 。因此 是一个柯西序列。

引理10。限制在混乱的度量空间中是独一无二的。

证明。让 和 是序列的极限 。然后 和 作为 。三角不等式的定义5,我们得出这样的结论: 作为 。因此 (2)的定义和使用属性5,我们得出这样的结论: 。

引理11。限制在脱臼quasimetric空间是独一无二的。

证明。让 和 是序列的极限 。然后 和 作为 。的三角不等式,它遵循 。作为 ,我们有 。同样的, 。因此 ;也就是说, 。也 作为 。也就是说, , 。房地产(2)的定义4,我们得出这样的结论: 。

示例12。让 。定义 通过 。然后两人 是一个混乱的度量空间。我们定义一个任意序列 在 ;如果 存在一个正整数 满足 。然后,对任何 ,我们有 。因此, 是一个柯西序列 。也是 ,然后 。因此,每一个柯西序列 收敛对吗 。因此, 是一个完整的脱臼度量空间。

3所示。主要结果

在本节中,我们建立映射的公共不动点满足收缩的框架条件,证明了脱臼度量空间。

定义(见[139])。存在 满足的条件 ,如果一个人让 是不减少的和非负 对于给定的 。

引理14(见[9])。如果 满足的条件 ,然后 对于给定的 。

引理15(见[11])。让 ,满足条件 ;对所有 ,如果 或 或 ,然后 。

定理16。让 是一个完整的脱臼度量空间,让 self-mapping,如果(1)要么 或 是连续的;(2)存在 满足的条件 ,尽管 ,这样 然后 有独特的公共不动点。

证明。让 是连续的, 任意的 , , 的顺序 , 很明显, 通过给定的条件,我们有 由引理15,我们有 也 因此 由引理14,我们有 因此,用归纳法, ,我们获得 类似的 如果 ,我们有 注意,条件 我们知道, 这样 ,我们有
因此, 作为 。这力量 是一个柯西序列 。但 是一个完全脱臼度量空间;因此, 是 是收敛的。调用 限制 。然后, 作为 。的连续性 ,因为 , 。所以当 , , 不动点的吗 。
通过给定的条件,我们有
因此, ,所以 是一种常见的不动点的 。
独特性。让 是另一个公共不动点 。然后通过给定的条件,我们有 自 , 独特的定点 ;同样,我们证明 也是唯一不动点的 。因此,固定的点 是独一无二的,我们证明这个定理。

定理17。让 是一个完整的脱臼度量空间;,让 是连续映射,如果(1)存在 满足的条件 ,尽管 ,如果 ,这样 (2)存在 这样 凝点,呢 有一个独特的公共不动点。

证明。让 的序列 ,所有 , , 很明显,
假设 的凝点是吗 ;存在的子序列 的 这样 。自 是连续的, 。
考虑
也可以考虑 因此
因此,我们知道 是减少的。让 和 。自 的子序列 ,我们有
因此,我们得出这样的结论: ,一个矛盾。所以 , 不动点的吗 。同样的, 不动点的吗 。
独特性。让 是另一个公共不动点 。然后通过给定的条件,我们有
自 , 独特的定点 。同样,我们证明 也是唯一不动点的 。因此,固定的点 是独一无二的。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金委资助没有:11071279。