文摘

修改Mann-Halpern算法寻找pseudocontractive映射的不动点。的强收敛定理。

1。介绍

找到非线性算子的不动点在不动点理论是一个重要的话题,因为许多非线性问题可以作为定点新配方方程的非线性映射。这一领域的研究可以追溯到皮卡德和巴拿赫的时间。现在众所周知,Picard迭代收敛到唯一不动点的每当是一个完备度量空间的收缩。然而,如果不是一个收缩(例如,扩张),然后皮卡德算法不收敛。因此,曼恩的算法是由曼(11953年): 有大量的论文在曼氏算法在文献中。参见[2- - - - - -5]。现在我们知道,如果扩张,那么曼氏的定点算法收敛弱吗。然而该算法不收敛强拓扑。

为了得到强大的融合,以下Halpern的算法是介绍: Halpern迭代法的兴趣和重要性在于强烈的序列收敛实现某些温和条件下参数在一个一般的巴拿赫空间。请参阅[6- - - - - -12]。

在本文中,我们致力于找到pseudocontractive映射的不动点。对一些相关工作,请参阅[13- - - - - -23]。pseudocontractions的利益在于单调算子之间的关系。布劳德和Petryshyn24]研究了曼氏的弱收敛算法严格pseudocontractions的类。但曼算法不收敛Lipschitzian pseudocontractions [25]。

灵感来自文献中的结果,本文的主要目的是构建一个迭代法寻找pseudocontractive映射的不动点。在一些轻微的情况下,强收敛结果。

2。预赛

让是一个真正的希尔伯特空间内积和规范,分别。让是一个非空的闭凸子集。一个映射被称为pseudocontractive如果 一个映射被称为-Lipschitzian如果存在这样 对所有。在这种情况下,如果,然后是一个收缩。

众所周知,在一个真正的希尔伯特空间下面的不平等是适用的: 对所有。

在本文中,我们将使用以下符号:(我)我们使用表示固定的点的集合;(2) 表示的弱收敛来;(3) 表示强烈的收敛来。

引理1(见[26])。让是一个真正的希尔伯特空间的闭凸子集。让是一个连续pseudocontractive映射。然后demiclosed是零。

引理2(见[27])。让是一个实数序列。假设不会减少在无穷远处;也就是说,存在至少一个子序列的这样对所有。对于每一个,定义一个整数序列作为 然后作为和所有

引理3(见[28])。假设是一个非负实数序列,这样 在哪里是一个序列和是一个序列,这样(1) ;(2) 或。
然后。

3所示。主要结果

现在我们的语句算法。

修改后的Mann-Halpern算法。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让pseudocontractive映射和一个收缩映射。让,,三个实数序列。我们有以下步骤。(1)初始化:

(2)曼一步:对于一个给定的,定义一个序列通过 对所有。(3)Halpern一步:对于一个给定的和,定义 对所有。

在下面,我们假设(我)映射是-Lipschitzian;(2)序列,,满足下列条件- - - - - -: ; ; ; ; 。

现在,我们证明我们的主要结果如下。

定理4。假设。然后序列定义为(11)强烈收敛的不动点。

证明。自是一个条件,那么是一种压缩映射(在哪里是度量投影)。因此,存在一个唯一这样。在续集中,我们将表明,序列定义为(11)强烈收敛。
从(11),我们得到 众所周知,在希尔伯特空间拥有下列不等式: 对所有和。因此,我们有 我们知道是pseudocontractive当且仅当吗满足条件 对所有。自我们从(15), 对所有。
通过使用(13)和(16),我们得到 请注意,是-Lipschitzian和 从(17),我们有 通过条件不失一般性,我们可以假设对所有。然后,我们有对所有。用(19)(14)和注意的条件,我们有 因此, 它遵循从(12)和(21), 这意味着序列是有界的。
从(5)和(11),我们有 请注意,(19)等价于 因此, 由此可见, 自和是有界的,存在这样。所以 接下来,我们证明两种情况。
假设存在一个整数这样减少对所有。
在这种情况下,我们知道的存在。从(27),我们推断 通过条件和,我们有。因此,从(28),我们得到 自是有界的,存在一个子序列的令人满意的 因此,我们使用的demiclosed原则(引理1)来推断 所以 回到(25)和使用(5我们获得 由此可见, 在引理3,我们将,,。我们可以很容易检查和。因此,我们推断出。
假设存在一个整数这样。在这种情况下,我们设置。然后,我们有。定义一个整数序列对所有如下: 很明显,不减少的序列满足吗 对所有。从(28),我们得到 这意味着。因此,我们获得 自我们从(34), 由此可见, 结合(38)和(40),我们有 因此 从(34),我们得到 由此可见, 这在一起(42)意味着 应用引理2我们得到了 因此,。也就是说,。完成证明。

4所示。结论

现在众所周知,曼氏算法不收敛Lipschitzian pseudocontractions。石川强收敛的算法还没有实现不紧性假设。摘要,修改Mann-Halpern算法寻找pseudocontractive映射的不动点。的强收敛定理。