文摘

通过一个反例,我们证明了多步迭代过程的速度比Zamfirescu运营商的曼和石川迭代过程。

1。介绍

让是一个非空的赋范空间的凸子集,让是一个映射。

(一)任意的,序列定义为 在哪里是一个序列,被称为曼迭代过程1]。

对任意的(b),序列定义为 在哪里和序列在,被称为石川迭代过程2]。

(c)对任意的,序列定义为 在哪里和, 序列在和用 ,被称为多步迭代过程3]。

定义1(见[4])。假设和是两个真正的收敛序列的限制和,分别。然后,据说,收敛速度比吗如果

定义2(见[4])。让和两个定点迭代过程,都收敛于同一定点误差估计, 在哪里。如果收敛速度比,然后据说,收敛速度比吗。

定理3(见[5])。让是一个完备度量空间,让是一个映射的存在实数,,令人满意的和这样,每一对后,至少有一个是正确的: , , 。
然后,有独特的定点,皮卡德迭代定义为 收敛于对于任何。

备注4。一个操作员满足收缩条件()- ()的定理3将被称为Zamfirescu运营商(4,6,7]。
在[6,7),Berinde引入一类新的运营商在赋范空间令人满意的 对于任何,,。
他证明了这类是更广泛的比类Zamfirescu运营商。
以下结果证明在[6,7]。

定理5(见[7])。让是一个非空的赋范空间的闭凸子集。让是一个操作符满足(4)。让通过迭代过程被定义 和。如果和,然后收敛强烈的独特的定点。

定理6(见[6])。让是一个非空的一个任意的巴拿赫空间的闭凸子集,让是一个操作符满足(4)。让通过迭代过程被定义 和,在那里和是正数序列与令人满意的。然后,是收敛的强烈的不动点。

可以找到以下结果(8]。

定理7。让是一个任意的巴拿赫空间的闭凸子集。让曼和石川迭代过程与实际序列和满足,,。然后, 和 收敛强烈的独特的定点。让此外,Zamfirescu运营商,曼迭代过程收敛速度比石川的定点迭代过程。

在[4),Berinde证明下面的结果。

定理8。让是一个任意的巴拿赫空间的闭凸子集,让是一个Zamfirescu算子。让被定义为 和用一个序列在令人满意的。然后,是收敛的强烈的不动点,此外,皮卡德迭代比曼迭代收敛速度。

备注9。在[9),清,罗迪斯通过反例表明,曼迭代过程收敛速度慢于Zamfirescu运营商石川迭代过程。

在本文中,我们建立一个通用的近似不动点定理quasi-contractive运营商巴拿赫空间通过多步迭代过程。我们的结果推广和改进等先生的相应结果,普拉萨德瓦拉8]和Berinde [4,6,7]。

我们还证明了曼迭代过程和石川迭代过程收敛速度慢于Zamfirescu运营商多步迭代过程。

2。主要结果

我们现在证明我们的主要结果。

定理10。让是一个非空的一个任意的巴拿赫空间的闭凸子集,让是一个操作符满足(4)。让通过迭代过程被定义 和,在那里和,()序列与。如果,然后是一个单例,序列是收敛的强烈的不动点。

证明。假设和。然后,使用 ,我们有
现在,对于和,(4)给 用(6)(5),我们得到
以类似的方式,再次利用 ,我们可以得到 在哪里 和 它可以很容易地看到, ,我们有
用(9)(10)给了我们 它可能是指出,和,下面的不平等始终是正确的: 从(11)和(12),我们得到 通过重复相同的过程,最后从(7)和(10),我们屈服 由(14),我们归纳获得 使用这一事实,,结果, ,(15),意味着 因此,,这就完成了证明。

现在,我们通过一个反例,证明多步迭代过程的速度比Zamfirescu运营商的曼和石川迭代过程。

例11。假设被定义为;, ,;, ,。很明显,是Zamfirescu算子与一个独特的定点和所有的条件的定理10感到满意。同时,,。假设。曼和石川迭代过程 在哪里 意味着 现在,考虑 很容易看到 因此, 因此,曼迭代过程收敛速度慢于不动点的多步迭代过程的。
同样的, 与 意味着 因此,石川迭代过程收敛速度慢于不动点的多步迭代过程的。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢编辑和裁判对他们有用的意见和建议。本研究从东亚大学研究基金的支持。