文摘

本文的目的是研究一类离散非线性薛定谔方程。疲软的超线性条件下在无穷远处,而不是古典Ambrosetti-Rabinowitz条件,存在驻波的方程是通过使用当地流形方法。

1。介绍

离散非线性薛定谔方程(黑暗)的上下文中首次推导出非线性光学Christodoulides和约瑟夫(1];参见[2- - - - - -5]。黑暗与方程是最重要的一个固有的离散模型,具有至关重要的作用在建模的各种各样的现象,从固态和凝聚态物理生物学(6- - - - - -10]。例如,达维多夫(6]研究了方程在分子生物学和苏et al。10被认为是凝聚态物理方程。Eilbeck et al。11)首先指出离散非线性薛定谔方程的普遍本质和报告的应用程序。

在分析研究中,许多作者研究了驻波黑暗方程解的存在性结果。大部分的工作担忧周期性的黑暗与方程(12- - - - - -14]。最近,一些作者认为黑暗方程与无限增长潜力。张和Pankov [15,16]他们的努力致力于无限增长潜力和权力的情况下非线性。在所有这些结果,非线性应该是积极的(自聚焦)或负面(散焦)。Pankov [17]研究了黑暗equatifvons无限增长潜力和符号变换非线性(自聚焦和散焦的混合物)。Pankov和张关心黑暗与无限增长潜力和饱和非线性方程(18]。

在本文中,我们考虑高维dnl方程的推广 在哪里 和。的参数描述下列方程的聚焦性质:如果方程是自聚集,而对应的散焦方程。

我们假设非线性计是不变的, 然后我们可以考虑特殊形式的解决方案,对于任何。这些解决方案被称为呼吸解决方案或驻波,由于他们的周期时间的行为。插入呼吸的拟设的解决方案(1),它遵循满足的非线性代数方程组 我们需要以下假设。

离散的潜力满足

在哪里多索引的长度是。

,存在,这样

统一为。

统一为,在那里原始的函数吗,也就是说,

是严格增加和。

我们关心的是基态解的存在性,也就是说,相应解决方案最积极的变分泛函的临界值。获得基态的存在,通常除了增长条件的非线性和一种当地条件,以下经典Ambrosetti-Rabinowitz于超线性条件(见,例如,19假设): 很容易看到,(8)意味着为一个常数和。

在这篇文章中,而不是(8我们假设super-quadratic条件。很容易看到,(8)意味着。众所周知,许多非线性等 不满足(8)。一个至关重要的作用,8)是确保Palais-Smale序列的有界性。

本文组织如下。节2,我们建立相关的变分框架(4)。然后,我们提出本文的主要结果,与现有的进行比较。部分3是用于证明一些有用的前题,主要结果的证明部分完成4。

2。预赛

为了应用临界点理论,我们将建立相应的变分框架与(4)。

对于一些正整数,我们认为真正的序列空间 然后以下之间的嵌入空间是适用的:

让 这是一个自共轭算子定义(见[20.])。

定义的空间 然后希尔伯特空间配备标准吗

现在我们考虑到变分泛函上定义通过 在哪里内积在吗。然后。的导数,我们有以下公式: 方程(16)意味着(4)是相应的欧拉方程。因此,我们减少了找到一个非平凡解的问题(4)寻找一个非零的临界点的功能在。

本文以下引理中发挥着重要作用;它成立于20.]。

引理1。如果满足条件,然后(1)对于任何从E,嵌入映射到紧凑,(2)频谱是离散的,由简单的特征值积累。

由引理1,我们可以假设是最小的特征值的,这是

现在我们已经准备好状态的主要结果。

定理2。假设条件()和()- ()感到满意。然后有以下的结论。(1)如果,,(4)没有非平凡解。(2)如果,,(4基态)有一个重要的解决方案。(3)如果,,是奇怪的为每一个,(4)有无穷多对的解决方案在。

备注3。在[20.),作者认为以下dnl方程: 那里存在一个正的常数,这样对于任何,。显然,(18)和(4如果我们让。因此,(18(的)是一个特例4)。
在[20.),非线性满足以下条件: 这意味着(8)。所以这是一个更强的条件比。因此,我们的结果推广了相应的。

备注4。在[16),作者也认为(18),并假定非线性满足经典Ambrosetti-Rabinowitz于超线性条件(8)。显然,这是一个更强的条件比。
自,我们可以引入一个等价的标准通过设置 然后是功能可以写成
为了证明多样性的结果,我们需要下面的引理。

引理5(见[21])。让。如果是一个无限维的希尔伯特空间,甚至有下界的和满足Palais-Smale条件。然后无限许多成对的临界点。

3所示。一些前题

在本节中,我们总是假设。

我们定义了当地多方面的

证明的主要结果,我们需要一些前题。

引理6。假设条件()和()- ()感到满意。然后一个(1) 和对所有,(2) ,尽管。

证明。(1)从和,很容易得到 通过,我们有 所以对所有。
(2)(1),我们有

引理7。假设条件()和()- ()感到满意,并让然后有以下。(1) 作为。(2) 所有严格增加吗和。(3) 统一为在弱紧凑的子集,因为。

证明。(1)和(2)很容易被显示和,分别。接下来,我们检查(3)。是弱紧凑,让。它可以显示,如果作为,那么的子序列。传递给子序列,如果有必要,和对于每一个,因为。
自和,通过和(23),我们有

引理8。在假设()和()- (),为每个有一个独特的存在这样。

证明。让,。请注意, 和(2)的引理7,那么存在一个唯一,这样每当,每当,。所以。

备注9。由(1)和(3)的引理7,为小,为大。一起引理8我们有,是一个独特的最多和独特的点线吗(),与。也就是说,独特的最多雷。因此,我们可以定义映射和通过设置 在哪里。

引理10。对于每一个紧凑的子集,存在一个常数这样对所有。

证明。假设矛盾,作为。由引理6和,我们有 这是一个矛盾。

引理11。(1)映射是连续的。
(2)映射是一个同胚之间和和的倒数是由。

证明。(1)假设。自为每一个,我们可以假设对所有。写。的前题8和10,是有界的,因此如果需要在传递到子序列。自是关闭,。因此的独特性的引理8。(2)这是一个直接的后果。

引理12。 满足Palais-Smale条件。

证明。让是一个序列,这样对于一些和作为。
首先,我们证明是有界的。事实上,如果不是,我们可以假定的矛盾作为。让。然后存在子序列,还用同样的符号,这样在作为。
假设。对于每一个,从评论9,我们有 如果这是一个矛盾。因此,。
根据引理7(3),我们有 又一个矛盾。因此,是有界的。
最后,我们表明,存在一个收敛的子序列。实际上,存在一个子序列,还用同样的符号,这样。由引理1,对于任何,然后 请注意,
第一项作为因为弱收敛。
通过和,很容易证明的,存在,这样 然后, 结合(32)的有界性,上面的不平等 它遵循从(33),在;也就是说,满足Palais-Smale条件。
证明已经完成。

现在我们定义的功能和通过

引理13。(1),
(2),
(3)是一个Palais-Smale序列当且仅当是一个Palais-Smale序列。
(4)是一个临界点的当且仅当是一个重要的临界点。此外,相应的值和相一致,。

证明。(1)让和。的评论9中值定理,我们得到 在哪里足够小,。同样的, 在哪里。从引理的证明11,函数是连续的,结合这两个不平等呢 因此,而后的导数是有界的线性和连续。由此可见,是一个类的(见[19,命题1.3])。
从(1)(2)如下所示。注意到,。
(3)让是一个Palais-Smale序列,让。因为每一个我们有一个正交分解使用(2) 再次使用(2) 因此, 根据引理6,因为,,所以存在一个常数这样。由于,。一起引理12,。因此是一个Palais-Smale序列当且仅当是一个Palais-Smale序列。
(4),(45),当且仅当。另一部分是明确的。

4所示。主要结果的证明

定理的证明2。(1)如果,我们假设(4)有一个非平凡解。然后是一个非零的临界点在和。但 这是一个矛盾。
(2)如果,。我们首先证明满足Palais-Smale条件。
让是一个Palais-Smale序列;然后是一个Palais-Smale序列由引理13(3),在那里:。从引理12,子序列和经过,所以满足Palais-Smale条件。
让是一个序列的最小化。Ekeland的变分原理,我们可以假定作为,所以是一个Palais-Smale序列。由Palais-Smale条件,如果需要在传递到子序列。因此是一个最小值因此一个临界点,然后是一个临界点的和也是一个最小值由引理13。因此,是一个基态的解决方案(4)。
(3)如果,,是奇怪的为每一个,然后甚至也是如此吗。自和满足Palais-Smale条件,有无穷多对临界点的引理吗5。由此可见,(4)有无穷多对的解决方案在从引理13。
这就完成定理2。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金项目(没有。11071283)和运城大学科学基金会(nos。司法院- 2011026,- 2011038,司法院- 2011039,和jc - 2009024)。