文摘

我们引入了广义的概念 容许映射。通过使用这个概念,我们是一个不动点定理。我们的结果推广了Mizoguchi-Takahashi的不动点定理。我们还提供了一些示例来展示我们工作的普遍性。

1。介绍和预赛

让 是一个度量空间。为每一个 和 , 。我们表示 所有非空的紧凑的类的子集 ,通过 所有非空的封闭的类和有限的子集 ,通过 所有非空的封闭的类的子集 。对于每一个 ,让 这样的地图 被称为广义分离度量诱导 。

纳德勒(1]巴拿赫收缩原理扩展到多值映射如下。

定理1(见[1])。让 是一个完备度量空间 是一个映射的 成 这样 在哪里 。然后 有一个固定的点。

帝国(2]扩展上述导致以下方式。

定理2(见[2])。让 是一个完备度量空间 是一个映射满足 在哪里 和 是一个函数的 成 这样 然后 有一个固定的点。

帝国(2)提出了问题:是否的范围 , 可以更换的 或 。沟口健二和高桥3)给帝国的猜想一个肯定的答复2),同样适用于不平等 ;特别是他们证明以下。

定理3(见[3])。让 是一个完备度量空间 是一个映射满足 在哪里 和 是一个函数的 成 这样 然后 有一个固定的点。

其他证明的定理3给出了daf和金子4和张5]。埃尔德雷德et al。6]声称定理3相当于定理1。铃木生产(一个例子7753页),证明他们的说法,表明Mizoguchi-Takahashi的不动点定理是一个真正的泛化纳德勒的不动点定理。读者能找到一些相关结果Mizoguchi-Takahashi[的不动点定理8- - - - - -14]。

萨梅特et al。15]介绍的概念 - - - - - - 收缩和 容许self-mappings和证明一些定点结果映射在完备度量空间中。Karapinar和赛门特16广义这些概念和获得一些不动点的结果。美国手语et al。17]扩展这些概念来描述通过引入的概念 - - - - - - 收缩和 容许映射和证明一些定点的结果。一些结果在这个方向也由作者(18,19]。阿里和Kamran [20.)进一步广义的概念 - - - - - - 收缩映射和获得一些多值映射的不动点定理。

最近,Salimi et al。21修改了的概念 - - - - - - 收缩和 容许self-mappings通过引入另一个函数 ,建立了一些这样的映射不动点定理在完备度量空间中。侯赛因et al。22]扩展美国手语等人的结果,介绍了以下定义。

定义4(见[22])。让 是度量空间上的映射 。让 是两个函数, 是有界的。我们说 是一个 关于容许映射 如果我们有 在哪里 和 。在情况下 对所有 ,然后 是 -subadmissible映射。在情况下 对所有 ,然后 是 容许。

定义5(见[17])。让 是一个度量空间,让 是一个映射。一个映射 是 容许如果 ,在那里 。

在本文中,我们概括的定义4,并提供了一些示例来展示普遍性的概念。我们也建立一个不动点定理,推广了Mizoguchi-Takahashi的不动点定理。一些说明性的例子声称我们的结果正确概括文献的一些结果。此外,在本文的最后,我们给出一个开放问题作进一步调查。

2。主要结果

我们开始本节概括的定义4。

定义6。让 是度量空间上的映射 。让 两个函数。我们说 是广义 关于容许映射 如果我们有 当 对所有 ,然后 是一个广义的 -subadmissible映射。当 对所有 ,然后 是 容许。

注7。注意,不平等(8)是弱于(7)。此外, 参与不平等(8)不一定是有界的。

示例8。让 天生具有通常的指标 。定义 通过 对所有 , 通过 和 通过 为每一个 。然后 与 ,我们有 对所有 和 。因此 是广义 关于容许映射 但它不是 关于容许映射 。

定理9。让 完备度量空间,让 是一个广义的 关于容许映射 这样 在哪里 令人满意的 对所有 。假设,下列条件:(我)存在 和 这样 ;(2)要么(1) 是连续的或(2)如果 是一个序列 与 作为 和 为每一个 ,然后有 为每一个 。然后 有一个固定的点。

证明。假设,存在 和 这样 。如果 ,然后我们没有任何证明。让 。然后从(10),我们有 存在 这样 考虑 对所有 。然后 对所有 。从(12),我们有 自 是一个 关于容许映射 ,然后 。如果 ,然后我们没有任何证明。让 。然后从(10),我们有 存在 这样 继续相同的过程,我们得到一个序列 在 这样 , , , 它遵循从 对所有 那 一个严格递减序列在吗 。因此它收敛于一些非负实数 。自 和 ,存在 和 这样 对所有 。我们可以找到 这样 对所有 与 。然后 为每一个 。同时,我们有 因此 是一个柯西序列 。自 是完整的,那么存在 这样 。如果我们假设 是连续的,那么 另一方面, 为每一个 和 作为 ,那么我们就有 为每一个 。然后从(10),我们有 因此 。这就完成了证明。

下面的例子显示,定理9适当的推广定理3节中,1。

示例10。让 天生具有通常的指标 。定义 通过 通过 和 通过 为每一个 。取 对所有 。然后 与 ,我们有 同时, 是广义 关于容许映射 。为 和 我们有 。此外,对于任何序列 在 与 作为 和 为每一个 ,我们有 为每一个 。因此,所有定理的条件9感到满意, 有无限多的固定的点。

推论11。让 完备度量空间,让 是一个 关于容许映射 这样 在哪里 令人满意的 对所有 。假设,下列条件:(我)存在 和 这样 ;(2)要么(1) 是连续的或(2)如果 是一个序列 与 作为 和 为每一个 ,那么我们就有 为每一个 。然后 有一个固定的点。

证明。我们可以通过使用定理证明这个结果9事实上,不平等(8)是弱于(7)。

确认

这项研究是高等教育委员会的支持下,泰国研究基金会,Rajamangala科技大学Lanna达克(批准号MRG5580233)。