文摘

受注意共同定点分裂问题quasi-nonexpansive运营商提出的Moudafi(2011),基于最近的工作见鬼et al .(2012),在本文中,我们提出一个惯性迭代算法求解分割共同定点问题quasi-nonexpansive运营商在希尔伯特空间。我们还证明了渐近收敛算法在某些合适的条件。结果改善和发展以前讨论的可行性问题和相关算法。

1。介绍

凸可行性问题(CFP),作为一种重要的优化问题(1),是要找到一个公共点有限很多凸集的交集。它已经应用于许多领域,例如,近似理论(2从预测),图像重建3,4)、控制(5),等等。当只有两集和约束是对解决方案域的线性算子以及在这个操作符的范围,问题是一个分裂的可行性问题(SFP)有以下公式:找到一个点令人满意的 在哪里是一个封闭的凸子集的希尔伯特空间,是一个封闭的凸子集的希尔伯特空间,是一个有界的线性算子。SFP最初介绍了(6),它还广泛的应用在许多领域,如图像重建问题,信号处理和放射治疗。许多投影方法也为解决SFP发达;参见[7- - - - - -9]。表示由正交投影;也就是说,,在所有。假设SFP(即是一致的。,(1)有一个解决方案),不难看到解决(1)当且仅当它解决了定点方程: 在哪里是积极的常数和吗表示伴随的。

解决(2),在10所谓],伯恩介绍了CQ算法,生成一个序列通过 在哪里和的谱半径。

分割(SCFP)是一种常见的定点问题泛化分裂的可行性问题(SFP)和凸可行性问题(CFP);参见[11]。我们的主要目的是给一个扩展开发的结果(12]分割共同定点quasi-nonexpansive运营商的问题,我们将引入弱研讨会在一些合适的条件下算法的收敛结果。这将是在一般的希尔伯特空间的背景下完成的。

本文组织如下。节2,我们回忆起一些开场白。节3,我们现在一个惯性CQ算法和显示其收敛性。

2。预赛

在本文的其余部分,表示身份和运营商表示的一个算子的不动点,也就是说,。

回想一下,一个映射据说quasi-nonexpansive ()如果 一个映射被称为扩张映射(如果 一个映射被称为坚定地扩张映射()如果 一个映射被称为坚决quasi-nonexpansive ()如果 它很容易观察到这。此外,众所周知,包括常用的投影算子,虽然包含次梯度投影操作符(见,例如,(13),引用其中)。

最近,Bauschke和Combettes [14)被认为是一类映射满足条件 它可以很容易地看到类的映射满足后者的条件的同时,坚决quasi-nonexpansive映射。

通常,定点算法的收敛需要一些额外的平滑度的属性映射比如demiclosedness。

定义1。一个映射据说demiclosed如果任何序列的弱收敛于如果序列强收敛于,然后。
在下面,只有demiclosedness为零的特殊情况下将被使用,这是特殊情况。
需要以下引理的证明了算法的收敛性。

引理2。让是一个quasi-nonexpansive映射。集。然后,它是直接的:(1) 和;(2) ;(3) 。

引理3(见[8])。假设和满足(1) ,(2) ,(3) ,在那里。然后,序列是收敛的,在那里(对于任何)。

3所示。惯性算法及其渐近收敛

在下面,我们将关注以下一般two-operator分割共同定点问题: 在哪里是一个有界的线性算子和和两组与非空的定点quasi-nonexpansive运营商吗和的解集,表示two-operator SCFP

3.1。惯性的算法

解决(9),Moudafi [15提出并证明了,在有限维空间中,收敛的算法如下: 在哪里,是放松的参数和。惯性技术的启发,我们介绍下面的惯性方法然后展示其收敛性分析。

算法4。初始化:是任意的。迭代的步骤:,设置,让 在哪里,,,算子的谱半径,。

3.2。惯性的渐近收敛算法

在本节中,我们建立算法的渐近收敛4。

引理5(产生16])。让是一个希尔伯特空间,让是一个序列这样存在一个非空的集合令人满意的(1)对于每一个,存在,(2)任何序列的弱的聚点属于。然后,存在这样弱收敛于。

定理6。给定一个有界的线性算子,让与非空的quasi-nonexpansive运营商,让与非空的quasi-nonexpansive运营商。假设和demiclosed在。如果,那么任何序列由算法生成4弱收敛于一个公共不动点分裂,只要我们选择令人满意的与,。和足够小的。

证明。采取在引理,利用(2)2,我们获得 另一方面,我们有 也就是说, 现在,通过设置和使用(1)的引理2,我们获得 结合上述关键不平等(15)的收益率 定义辅助的序列。因此,从(17),我们有 通过推导,我们 很容易检查。
因此, 把(20.)(18),我们得到 自,根据,和(21),我们得到 显然, 由于。让在引理3。我们推断出序列收敛(因此,是有界的。由(23)和引理3,我们获得。的原因(21),我们有 因此, 通过和假设,我们得到 表示由weak-cluster点,让的子序列。很明显, 然后,从(26)和demiclosedness在,我们获得 由此可见,。

现在,通过设置,接下去。的demiclosedness在,从(27),我们有 因此,,因此。

因为没有超过一个weak-cluster点,整个序列的弱收敛之前通过引理5与。

注7。因为的当前值是已知的在选择参数,然后在定理定义良好的6。事实上,从流程的证明定理6,我们可以得到以下主张:收敛定理的结果6我们总是会提供,,

最后,我们提出了一个算法求解宽类的SCFP quasi-nonexpansive运营商和证明其收敛希尔伯特空间。接下来,我们将改进算法来保证的强收敛无限的希尔伯特空间。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持下(批准号11171221),上海市科学技术委员会(批准号10550500800),上海市重点学科(批准号XTKX 2012),基础和前沿研究项目的河南省科学技术厅(批准号。112300410277和112300410277),中国煤炭工业协会科学和技术指导下项目(批准号mtkj - 2011 - 403)。