文摘
本文的目的是为了证明一些弱和强收敛定理求解一系列分裂可行性问题严格pseudononspreading映射在无限维的希尔伯特空间使用提出的迭代法。本文提出的主要结果推广和改进了相应的结果徐et al . (2006), Osilike et al。(2011),和许多其他作者。
1。介绍和预赛
审查和Elfving首次引入分割可行性问题(SFP) [1在有限维空间建模的逆问题。SFP可用于各种学科如医学图像重建(2)、图像恢复、计算机层析x射线摄影机,放疗治疗计划(3- - - - - -5]。一系列分裂可行性问题(MSSFP)研究了在4- - - - - -6]。
在续集中,我们总是假设,是两个真正的希尔伯特空间,表示“”和“分别为“强和弱收敛。
所谓的一系列分离的可行性问题(MSSFP)这样,在那里是一个有界的线性算子,和,家庭的映射,和,,,在那里和表示的不动点集和,分别。在续集中,我们使用MSSFP表示一组解决方案;也就是说,
最近,Kohsaka和高桥(7,8]介绍了一个重要的类的映射称为类的nonspreading映射。
定义1(见[7,8])。让是一个非空的希尔伯特空间的闭凸子集。一个映射据说nonspreading,如果
在[9),Iemoto和高桥证明这相当于以下定义。
定义2(见[9])。让是一个非空的希尔伯特空间的闭凸子集。一个映射据说nonspreading,如果
布劳德和Petryshyn10)提出以下- - - - - -严格pseudononspreading映射。
定义3(见[10])。让是一个真正的希尔伯特空间。我们说一个映射是严格pseudononspreading如果存在,这样 显然每个nonspreading映射严格pseudononspreading。
Osilike和Isiogugu11]介绍了一类nonspreading类型映射是更一般的映射研究[12在希尔伯特空间,证明了一些弱和强收敛定理在现实希尔伯特空间。最近,分裂可行性问题也被认为是在工作由Deepho和Kumam [13,14)和Sunthrayuth et al。15),并证明了一些弱和强收敛定理在现实希尔伯特空间。
本文的目的是研究一系列分裂(MSSFP)的可行性问题严格pseudononspreading映射框架的无限维希尔伯特空间。
的续集,我们回忆起一些定义、符号和结论,这需要在证明我们的主要结果。
定义4(见[3])。让是一个真实的巴拿赫空间。一个映射与域和范围在据说demiclosed起源如果任何序列在弱收敛于一个点和强烈收敛0,那么。
定义5。巴拿赫空间据说产生的财产如果任何序列与,我们有 对所有与。
注6。众所周知,每个希尔伯特空间具有产生财产。
定义7。一个映射据说semicompact,如果有界序列吗与存在子序列这样强烈收敛。
引理8(见[11])。让H是一个真正的希尔伯特空间;然后下面的结果。(我)对所有,和所有, (2) 。(3)如果是一个序列这是收敛的弱,然后
定义9。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。的度量投影 是一个映射,为每一个吗,独特的点在吗这样,。众所周知,对于每个,
引理10(见[11])。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间,让是一个严格pseudononspreading映射。如果,那么它是封闭的、凸的。
引理11(见[11])。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间,让是一个严格pseudononspreading映射。然后demiclosed在0。
2。主要结果
定理12。让,,,,,,正如上面提到的相同。为每一个,让是一个严格,让pseudononspreading映射是一个严格pseudononspreading映射。让生成的序列 在哪里与算子的谱和,是一个序列与。如果(是解决方案的集合定义的MSSFP (1)),那么序列收敛弱一点。
证明。证据分为四个步骤。
(我)我们首先证明存在任何。
自,和。它遵循从(9),
因为是严格pseudononspreading,为每一个,我们有
采取,我们有
这意味着
因此收益率
用(14)(10)和简化,我们有
另一方面,
自是严格pseudononspreading和注意,我们有
这将导致
由(18),我们有
它遵循从(19),
通过使用(15),(16),(19)和(20.),我们有
这表明的存在。
(2)我们现在证明的存在。
事实上,由(21),我们有
这意味着
由于(16),(23)和(24),它遵循存在,。
(3)现在,我们证明和。
事实上,它是(9),
这在一起(23)和(24)导致。
同样,它遵循从(9),(23)和(25),
(IV)最后,我们证明和MSSFP的,这是一个解决方案。
事实上,自是有界的,存在一个子序列这样。因此,对任何正整数存在子序列与这样。再次,通过(24)我们知道,因为;因此,我们有
自demiclosed是零,它遵循了吗。霸道的,我们有
此外,从(9)和(24),我们有。自是一个有界的线性算子,它遵循了吗。对任何正整数存在子序列与这样和。自demiclosed为零,我们有什么。霸道的,接下去。连在了一起显示,;也就是说,是一个解决MSSFP。
现在,我们证明和。
相反假设存在另一个子序列这样与。因此,由于的存在希尔伯特空间的产生财产,我们
这是一个矛盾。因此。由(9)和(24),我们有
因此,结论。
这就完成了定理的证明12。
定理13。让,,,,,,在定理一样12。为每一个,让是一个严格pseudononspreading映射是一个严格pseudononspreading映射。让生成的序列 在哪里与算子的谱和,是一个序列与。如果如果存在一个正整数这样semicompact,那么序列强烈收敛一点。
证明。不失一般性,我们可以假设semicompact。它遵循从(27),
因此,存在的子序列(为了方便起见,我们仍然表示它),这样。自,,所以。由于的存在,我们知道
也就是说,和强烈收敛点。这就完成了定理的证明13。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样显著,在写作本文。所有作者阅读和批准了期末论文。
确认
这项工作是支持宜宾大学自然科学基金(没有。2011 b07)和四川省教育部科研基金项目(没有。12 zb345)和贵州省科学技术基金部门([2013]2223)。