文摘

我们认为线性抛物问题的均质化 这展览空间尺度上的不匹配系数的意义 椭圆的部分有一个快速的空间振动的频率,而系数 时间导数的包含一个更快的空间尺度。结果表明,空间微尺度越快不产生任何校正项,只有一个局部问题需要描述均质问题。因此,重申的问题不是类型,尽管两个快速空间振荡的出现。

1。介绍

均化领域有其主要的灵感来源的问题找到强非均匀材料的宏观性质。在数学上,这种方法是研究一系列偏微分方程参数的地方 与长度尺度相关的异构性问题趋向于零。解决方案的顺序 收敛于解 所谓的均质问题由一个系数 ,在那里 使材料的有效的产权特征,可以通过某些辅助问题称为本地问题。

在本文中,我们研究了线性抛物问题的均质化 在哪里 , 是一个开放的、有界集 与局部李普希边界,两个 和 拥有单位周期性在各自参数和尺度 , , 满足一定separatedness假设。

展品快速空间振荡的问题 和空间以及时间振荡 。此外,有一个“不匹配”之间的空间尺度上的空间振动的频率 是高于 。因为有两个空间微尺度代表(1),有人可能认为两个地方的问题对于一个校正器,看到的,例如,(1]。然而,研究表明,来自规模没有相应校正器 出现在地方和均质问题,因此只有一个地方出现的问题制定定理。因此,问题不在于重申的类型。我们证明通过非常弱的多尺度融合(2),校正器 与梯度第二快速的空间尺度 实际上就消失了。已经在3,4),观察到有不止一个抛物线快速时间尺度问题不生成一个重申问题,在本文中,我们可以看到,也没有添加空间规模如果是包含在一个系数与时间的乘积的导数 。

考虑热传导,我们的结果意味着热容 可能与完全不同的周期性振荡模式不作任何区别均质系数算术平均只要在一个周期内是相同的。

抛物线同质化问题 研究了空间和时间尺度的不同组合的数篇论文通过相关技术双刻度收敛型的方法介绍(一分之一5),例如,(2,3,6- - - - - -8),,例如,9- - - - - -11双刻度收敛),技术不是应用类型。有关情况,如(1),我们没有 ,Nandakumaran和拉杰什12]研究了非线性抛物问题相同的振荡频率在时间和空间中,分别在椭圆方程和操作员的一部分振动在空间以相同的频率出现在颞分化。最近,许多论文解决各种相关问题的时间尺度与空间规模不认为是相同的,例如,(13,14]。到作者的所知,这是第一个研究这种类型的问题的振荡术语包括时间导数系数不匹配的空间振荡椭圆部分。

符号。我们表示 为 , , , , 为 , , , 。让 , , , ,积极和趋于零 所做的事。此外,让 是所有功能的空间 这是 一些函数的周期性重复 。

2。多尺度融合

双刻度收敛是Nguetseng发明的(15)的一种新方法均化快速振荡的问题在一个规模在空间。该方法是由阿莱尔进一步发展(16)和广义多尺度由阿莱尔和Briane [1]。同质化问题(1),我们将使用以下定义的进一步泛化,适应进化的设置,看,例如,(8]。

定义1。一个序列 在 据说 剂量收敛到 如果 对于任何 。我们写

通常,一些假设是由鳞片是相互关联的。我们说尺度的一个列表 如果分离 为 ,尺度都布置得井然有序,如果存在一个正整数 这样 为 。

这个概念在以下定义作为一个假设的证明定理的紧性的结果3和7。制定更严格的定义和一些例子,看到17,2.4节)。

定义2。让 和 被布置得井然有序列表。考虑所有元素列表。如果从可能重复,重复我们的意思是尺度同样迅速地趋向于零,每组的一个成员和数量级的列表中删除所有剩下的元素的分离,列表 和 据说联合分离。

下面的定理,将均化过程中使用的部分3, 表示所有的功能 这样 ,例如,18,23章]。

定理3。让 是一个有界序列 ,假设列表 和 共同良好分离。然后存在这样的子序列 在哪里 , , 为 。

证明。参见[17定理2.74)。

治疗进化问题快速振荡,如(1),我们也需要非常弱的多尺度融合的概念,看到的,例如,(2,5]。

定义4。一个序列 在 据说 剂量收敛非常弱 如果 对于任何 , , ,在那里 我们写

备注5。的要求(9)是实施以确保极限的唯一性。,(17,命题2.26]。

注6。收敛性的定义1可能只有在发生 是有界的 因此也是一个弱收敛 ,至少到合适的子序列。对于非常弱的多尺度融合,这并非如此。这一概念的主要目的是研究序列的类型 一般来说不会有界 。这需要一个更加严格的测试函数的类。

下面的定理是一个关键的结果均化过程的部分3。

定理7。让 是一个有界序列 以及假设列表 和 共同良好分离。然后存在这样的子序列 在那里, , 和, , 在定理是一样吗3。

证明。参见[17定理2.54)。

注8。一系列的解决方案 (1),我们可以更换的要求 应该是有界的 的假设 是有界的 而且还获得(6),[12引理3.3和(4.1)],从而也(7)和(11)。唯一的区别是, 将属于 而不是空间 。参见[13]。

3所示。均质化

现在让我们研究热传导问题 考虑热容振荡。我们假设 是积极的, , , 对于一些 ,所有 ,所有 ,在那里 。此外,我们假设 是有界的 ,见备注8,列表 和 共同良好分离。注意,这个separatedness假设意味着,例如, 趋近于零的速度快于 ,这意味着我们有一个不匹配的空间尺度上(12)。

我们给一个同质化的结果这个问题下面的定理。在证明,表明当地与慢空间微尺度相关的问题足以描述均质问题;,最快的空间尺度不产生任何校正器参与均化。我们也证明第二校正器 实际上就消失了。

定理9。让 是一个序列的解决方案(12)。然后 在哪里 独特的解决方案吗 与 在这里, 独特的解决 此外,校正器 就消失了。

备注10。分离变量后,我们可以把当地的问题 和均质系数 在哪里 和

备注11。周期性同质化的问题,例如,椭圆形或抛物线类型可能被视为特殊情况的更一般的概念 极限的收敛性,给出了表征问题,但没有如何计算均质矩阵的建议。的基本特性 抛物问题的收敛性,边界条件和初始条件是保存在极限。 收敛线性抛物问题已经在研究了19)的依赖和扩展Svanstedt的单调的情况(20.]。治疗这个问题在一个一般的设置是发现在最近的工作(21由Paronetto]。

定理的证明9。在23.9节在手术后18),我们获得 是有界的 参见[22]。因此,(14)持有子序列。我们通过研究的弱形式进行(12);也就是说, 对所有 和 。我们通过限制通过应用(6),考虑的话8,(7), 和 和到达均质问题 找到当地的相关问题 ,让我们再次考虑(22我们选择的) 也就是说,我们的研究 我们第一次调查的第二个任期的一部分包含时间导数的表达式。我们有 我们应用(11), 和 和 和 分别在最后一步。通过限制的剩余部分(26)是一个简单的应用程序(7), 和 。这为我们提供了弱形式, 当地的问题(18)。这意味着 ,因此也 ,是唯一确定的,因此整个序列 收敛,而不仅仅是提取的子序列。
这么远,我们只有用测试函数振荡周期 ,因此我们没有考虑到系数 一个公平的机会产生第二次校正器 。为了这样做,我们使用稍微不同的测试函数(22)。再一次,我们让 是在(25),而 选择根据 在哪里 与 请注意, 这意味着 。我们得到了 和应用(11), 和 在一起(15),也就是说,(7), 和 ,我们实现 注意的是, , , 都是独立的 ,(34)减少 回忆(30.),我们有 重新排列后可以写成 如果我们更换 与 在(33),让 和使用(6)和(7), 和 ,我们发现 这意味着,右边(37)是零。多次应用变分引理的其余部分,我们获得 因此校正器 是零。

评论12。那 消失意味着 趋向于零的很弱 剂量收敛。然而,有可能还是来自振荡的振荡 这有影响 。可能是他们的振幅太小,放大了 是不够的振荡识别限制。从这个意义上讲,非常弱的多尺度融合的概念给了我们一个更精确的校正器= 0意味着什么。