文摘
一些特殊函数的映射在康托尔集。与此同时,我们应用当地的分数傅里叶级数,傅里叶变换,拉普拉斯变换来解决三个地方分数微分方程和相应的nondifferentiable解决方案。
1。介绍
特殊功能(1)发挥重要作用在数学分析、函数分析物理,等等。我们回忆起一些很好的例子,γ函数(2,超几何函数3),贝塞尔函数(4),惠塔克函数(5],准备功能[6],q-special函数[7],福克斯的H-functions [8),米塔格-莱弗勒函数(9),和赖特的功能(10]。
米塔格-莱弗勒功能已经成功地应用于解决实际问题(11- - - - - -15]。例如,Mittag-Leffler-type功能部分进化过程提出了(15]。解决方案部分通过Mittag-Leffler-type函数讨论了反应扩散方程(16]。的米塔格-莱弗勒稳定性给出了分数阶非线性动态系统(17]。模型基于米塔格-莱弗勒功能提出了异常放松在电介质(18]。在[19),通过米塔格-莱弗勒异常放松功能被报道。基于米塔格-莱弗勒函数给出了连续时间金融(20.]。在[21),缸中的部分径向扩散基于米塔格-莱弗勒函数进行了研究。在[22),部分的米塔格-莱弗勒稳定性定理和延迟被认为是非线性系统。卷积的随机线性沃尔泰拉方程类型提出了基于米塔格-莱弗勒函数(23]。
最近,基于米塔格-莱弗勒函数通过分形康托集的措施,基于当地的特殊积分变换分数微积分理论提出了在24]。在这工作,一些当地申请分数微积分理论研究[24- - - - - -36]。本文的主要目的是调查特殊函数的映射康托集和一些应用程序的特殊积分变换nondifferentiable问题。
本文组织如下。节2特殊函数的映射,康托尔集。节3特殊积分变换在当地分数微积分和nondifferentiable问题的一些应用程序。最后,在节4,并给出了结论。
2。康托尔集映射为特殊功能
为了给特殊函数的映射康托尔集,我们首先回忆一些关于分形测度理论的基本定义25]。
让Lebesgue-Cantor阶梯函数被定义为(25] 在哪里康托尔集,是维豪斯道夫测度,是本地部分积分算子(24- - - - - -31日),而是一个伽玛函数。
后(1),我们得到 这是一个Lebesgue-Cantor楼梯的功能。的图,请参阅[28]。
通过这种方式,我们定义一些实值函数在康托尔集如下24- - - - - -26]。
康托尔集是由米塔格-莱弗勒功能(24,25] 我们画出相应的图在图2。
后(4)- (8),我们有 在哪里是一个分形单元的虚数(24,26- - - - - -32]。
如果因为和,满足条件(24- - - - - -26] 为我们把它写如下:
3所示。特殊积分变换在当地的分数微积分
在本节中,我们介绍特殊积分变换的概念在当地的分数微积分结束当地的分数傅里叶级数和傅里叶变换和拉普拉斯变换。在那之后,我们现在三个说明性的例子。
3.1。在当地的分数微积分定义特殊的积分变换
我们这里现在简要一些结果用于其余的纸。
让。当地部分三角傅里叶级数是由(24,26- - - - - -28] 当地的分数傅里叶系数阅读 我们注意到上述结果从勾股定理在广义希尔伯特空间(24,26- - - - - -28]。
让。当地的分数傅里叶变换建议由[24,29日- - - - - -32] 逆公式表示如下(24,29日- - - - - -32]: 让。当地部分的拉普拉斯变换被定义为(24,32,33] 当地部分的拉普拉斯变换的逆公式派生是(24,32,33] 在哪里是本地部分连续的,,。
更多细节的特殊积分变换通过当地分数微积分,看到24,32,33)和引用。
3.2。当地的分数傅里叶级数和傅里叶的应用微分方程和拉普拉斯变换在康托尔集
我们现在提供的强大的工具的方法上面三个说明性的例子。
例1。让我们开始与当地的分数微分方程在康托尔集以下形式:
在哪里和常数和nondifferentiable函数吗是周期的这样它可以扩展在当地的分数傅里叶级数如下:
在这里,我们给一个特定的解决方案以下列形式:
后(20.),我们有
提交(20.)- (21)(18),我们得到
因此,我们得到
因此,我们可以计算
鉴于(24),我们给的解决方案(18)如下:
例2。现在我们考虑下面的微分方程在康托尔集:
初始值条件
在哪里是恒定的,是当地分段连续函数,使其分数傅里叶变换的存在。
当地的分数傅里叶变换的应用
这
从(29日),我们有
因此,采取地方分数傅里叶变换的逆公式,
例3。让我们找到解决微分方程在康托尔集
初始值条件
在哪里是当地分段连续函数,使其部分拉普拉斯变换的存在。
从(当地部分拉普拉斯变换,32),我们有
这
当地部分两个函数的卷积是由(24]
和当地的分数的拉普拉斯变换是(24]
当地部分拉普拉斯变换的逆公式结合当地部分卷积定理给出了解决方案
4所示。结论
在这项工作中,我们调查了康托尔集映射为特殊功能和特殊积分变换通过当地分数微积分,也就是说,当地的分数傅里叶级数、傅里叶变换,拉普拉斯变换,分别。这些转换被成功地应用于解决三个地方分数微分方程和nondifferentiable解决方案报告。