文摘
我们定义的概念收缩映射锥度量空间并获得多值映射的不动点与豪斯多夫距离函数关闭锥度量空间的有限子集。我们获得最近的一些文献的结果作为我们的主要定理的推论。此外,一个重要的例子收缩映射我们的主要结果是满足所有条件。
1。介绍
巴拿赫收缩原则是公认度规不动点理论的来源。同时,这一原则在多个数学分支中扮演一个重要的角色。例如,它已经被用于研究非线性方程解的存在,线性方程组,线性积分方程和计算数学证明算法的收敛性。由于数学理论的重要性,巴拿赫收缩原理已经在许多方向扩展。
2007年,黄、张(1]介绍了锥锥正常的度量空间,作为一个度量空间的推广。Rezapour和Hamlbarani2]给出的结果(1)的情况下没有常态在锥锥度量空间。许多作者工作在它(见[3,4])。曹和英国宇航系统公司(5]介绍了锥度量空间上的豪斯多夫距离函数和广义的结果6对于多值映射。
2012年,赛门特et al。7]介绍的概念- - - - - -收缩类型映射。他们的研究结果下令定点的一些结果(见[7])。在[8),Karapinar等人介绍的概念-Meir-Keeler收缩映射,建立了G的一些不动点定理-Meir-Keeler收缩映射G-metric空间的设置。为更多的细节在不动点理论与我们的论文,我们指的是读者9- - - - - -19]。美国手语et al。20.]介绍的概念- - - - - -收缩映射和改善的概念- - - - - -收缩映射以及一些度量空间中不动点定理。因此,阿里et al。21),穆哈马迪et al。22)和Salimi et al。23研究的概念- - - - - -为证明收缩映射不动点的结果通过使用广义压缩条件在完备度量空间中。
在本文中,我们首先定义的概念- - - - - -收缩映射锥度量空间,然后使用它来研究多值映射的不动点定理满意- - - - - -收缩条件在一个完整的锥形度量空间不正常的假设。我们还提供一个重要的例子来支持我们的主要结果。
2。预赛
在下面,我们总是假设是一个真正的巴拿赫空间,是一个圆锥与非空的内部部分订单对吗。通过,我们的零元素表示。一个子集被称为锥当且仅当吗(我) 是封闭的,非空的吗;(2) ;(3) 。
对于一个给定的锥我们定义一个部分排序关于通过当且仅当;将代表和,而代表,在那里表示的内部。
定义1(见[1])。让是一个非空的。一个函数据说是一个度规,如果下列条件:
)
对所有和当且仅当;(
)
对所有;(
)
对所有。
这一对就被称为度量空间。
引理2(见[1])。让是一个度量空间,,让是一个序列。然后(我) 收敛于当每与有一个自然数这样,尽管。我们表示通过;(2) 是柯西序列每当每与有一个自然数这样,尽管;(3) 如果每一个柯西序列完成锥度量是收敛的。
备注3(见[3])。结果不动点和其他结果,与非正态的锥锥空间的情况下,无法提供度量空间减少,因为在这种情况下的条件引理1 - 4,在1]。此外,向量锥度量不是连续在一般情况下,也就是说,从,它不需要遵循。
让是一个锥形度量空间。以下属性的锥度量空间已经注意到(3]。 如果和,然后。 如果和,然后。 如果和,然后。 如果为每一个,然后。 如果,对于每一个,然后。( ) 是一个序列。如果和(如),然后存在这样对所有,我们有。
有一些修改,我们已经从(以下定义24]。
定义4。让是一个家庭不减少的功能,这样(我) 和为,(2) 意味着,(3) 对于每一个。
3所示。主要结果
锥度量空间表示(见[5])
为我们表示
引理5。让是一个锥形度量空间,让巴拿赫空间中锥。(1)让。如果,。(2)让和。如果,然后。(3)让,让和。如果,然后对所有或对所有。(4)让,让,然后。
注6。让是一个度量空间。如果和,然后是一个度量空间。此外,对于,豪斯多夫距离引起的吗。
定义7。让是一个完整的与锥锥度量空间,,被称为- - - - - -收缩时多值映射 对所有,在那里。同时,我们说是容许当意味着。
注意,一个- - - - - -收缩多值映射的锥广义度量空间- - - - - -收缩。当是一个严格增加映射,- - - - - -收缩称为严格广义- - - - - -收缩。
定理8。让是一个完整的与锥锥度量空间是一个函数,是一个严格的地图和增加,是容许和- - - - - -收缩多值映射上。假设存在这样。假设,如果是一个序列这样对所有和作为然后对所有。然后,有一个点在这样。
证明。我们可以假设。然后和
由引理5(3),我们有
根据定义,我们可以这样
由引理5(4),我们有
所以,
因此,
和。因此和。如果,然后是一个不动点的。假设。然后
由引理5(3),我们有
根据定义,我们可以这样
由引理5(4),我们有
所以,
因此,
很明显,和。因此,和。
如果,然后是一个不动点的。假设:
由引理5(3),我们有
根据定义,我们可以这样
由引理5(4),我们有
所以
因此
很明显,和。因此,和。继续这个过程,我们得到一个序列在这样,,和
对所有。
修复。我们选择一个积极的实数这样,在那里。(3)的定义4存在一个自然数这样,尽管。然后 对所有。因此,,尽管。修复。现在我们证明
对所有。请注意,(24)当。假设(24适用于一些。然后,我们有
现在,(22),我们有 因此,(24)当。通过感应,我们推断出(24适用于所有。这是足以断定是一个柯西序列。选择这样。自对所有和是容许,所以对所有。从(3),我们有
对所有。由引理5(3),我们有
根据定义,我们可以这样
由引理5(4),我们有
所以
因此
此外,对于一个给定的,我们有 因此,根据引理2(我)。自关闭了,。
定理9。让是一个完整的与锥锥度量空间是一个函数,是容许。如果存在一个常数这样 对所有。假设存在这样。假设,如果是一个序列这样对所有和作为;然后对所有。然后,有一个点在这样。
证明。取在定理8。
定理10。让是一个完整的与锥锥度量空间是一个严格增加地图,多值映射等 对所有。然后,有一个点在这样。
证明。取在定理8。
推论11。让是一个完整的与锥锥度量空间,让是一个多值映射。如果存在一个常数这样 对所有那么,存在一个点在这样。
证明。取和在定理8。
推论12(见[20.])。让完备度量空间是一个函数,是一个严格增加地图,是容许这样 对所有。假设存在这样。假设,如果是一个序列这样对所有和作为然后对所有。然后,有一个点在这样。
的评论6,我们有以下推论。
推论(见[1320.])。让完备度量空间是一个严格增加地图,这样是一个多值映射 对所有。然后,有一个点在这样。
证明。取的必然结果12。
推论14(见[20.])。让完备度量空间,是一个函数,是容许。如果存在一个常数这样 对所有。假设存在这样。假设,如果是一个序列这样对所有和作为然后对所有。然后,有一个点在这样。
证明。取的必然结果13。
推论15(见[25])。让完备度量空间,让是一个多值映射。如果存在一个常数这样 对所有。然后,有一个点在这样。
证明。取的必然结果14。
示例16。让,,,在那里对所有。定义通过 和通过对所有和 然后,。然后,显然是容许。现在和,我们得到 这意味着 所以是- - - - - -收缩多值映射上在哪里。因此,主要结果是满意的所有条件获得的不动点。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样显著,在写作本文。所有作者阅读和批准了期末论文。
确认
作者感谢编辑和裁判的有价值的意见和建议,大大提高文章的质量。第一作者欣然承认院长以来科研的支持(域)阿卜杜勒阿齐兹国王大学(考)在这个研究。