文摘

我们引入一个时间来建立技术在索洛模型非常数的人口。我们的分析表明,种群动态的可能来源稳定开关和霍普夫分岔。分析结果得到使用最近的技术引入的伯莱塔和旷(2002)研究的时滞相关系数延迟微分方程的特征方程。为了说明数值模拟执行的主要动态特性模型。

1。介绍

经济活动和人口动态之间的关系是一个多方面的问题。一方面,人口结构的变化会影响许多经济变量如劳动力(1)或公共支出养老金系统(2- - - - - -4];另一方面,宏观经济环境可能会影响生育的选择(5- - - - - -7],寿命预期[8,9),移民和移民决策(10]。

考虑到这些方面,许多作家构建模型的非线性机制的振动轨迹的主要来源demoeconomic变量。天在al。11]显示混沌动力学的可能性在一个离散的世代交叠模型假定代理确定儿童的数量在一个生育的成本之间的权衡和私人消费;Feichtinger和佐尔格12]介绍,根据伊斯特林理论,一些反馈机制能够产生振荡动力学人口出生轨迹;Benhabib和西村13)和Feichtinger佐尔格(12)的新古典模型中存在非线性动力学生育;曼和范蒂(14,15]研究极限环或复杂行为的发生在Goodwin-type模型的动态的人口工人介绍;范蒂和戈里16]研究周期性动荡的可能性在一个世代交叠模型与现收现付制养老金计划。

在本文中,我们分析的另一个来源内生波动demoeconomic变量。特别是我们专注于新古典生产之间的关系,种群动态、平衡和稳定路径使用Solow-type框架中人口发展速度常数(正面或负面)和时间来建立技术介绍。从理论的角度来看,有趣的是,在标准版本的索洛和拉姆齐模型没有延误,但积极的人口增长的速度,由于规模收益不变的假设,(我)人口的大小不影响经济的长期增长率(此属性不共享许多内生增长模型的la罗默遭受一个不切实际的规模效应(见琼斯批评和提出的替代方法(26)研究模型结果非常类似于索洛模型));(2)人口增长的速率决定了长期的资本积累的速度经济收敛;(3)存在一个唯一吸引全球平衡,和轨迹单调收敛(见[17,18])。相反,如果人口减少和内部平衡作为分水岭的轨迹模型和资本对劳动力的比例,根据初始条件可能收敛到零个或发散。然而,所有引用的作品,值得注意的是,时间序列似乎也经常为了描述经济变量的实际演进。

相反,如果时间滞后于生产资本商品介绍和人口增长的速率不同于零,动力系统,描述了人均物质资本的时间演化和相关联的特征方程涉及时滞相关系数。在这种情况下,结果是不同的对模型(例如,19- - - - - -22])与固定人口规模与延迟独立参数(然后)。特别是稳定开关以及霍普夫分岔为实际值可能出现的时间延迟。

从分析的角度来看,为了描述系统的局部动态,我们将使用最近的方法引入的伯莱塔和旷23)和基于真正的零的存在特定的功能。我们将显示如果然后系统能够产生稳定开关和延时变化时霍普夫分岔。本文组织如下。部分2介绍了模型。部分3研究了动态现象;部分4总结了纸。

2。该模型

我们考虑一个增长模式la索洛(24存在一个延迟的期后资本成为生产力的投资。这意味着,在时间生产性资本存量。通过假设一个柯布-道格拉斯技术,我们的总收入是,在那里代表劳动力和是资本的份额。离开Zak [22我们假定人口的增长速度常数。让不断的储蓄率和不断贬值的资本存量的比例在生产。的身份和,在那里,,分别是消费、储蓄和投资,所有评估的时间吗此前,资本积累的方程 为了简化符号我们省略时间依赖性的指示变量和衍生品在时间,我们使用显示的状态变量在时间。设置随着时间的推移,人均物质资本的演变是由 正常化的人数在时间0到1的产量。用在上面的方程,我们得到,我们的模型是由下列延迟微分方程描述的时滞相关系数

的平衡(3)获得的设置和对所有。这样做,一个发现重要的平衡(3)必须满足

引理1。对于每一个,存在一个独特的积极的平衡如果和一个独特的积极的平衡如果和。

利用泰勒展开式的右边(3周围),我们得到线性化方程 从这,我们得到特征方程 方程(6)是一个超越方程的无限复杂的根源。为特征方程(6)成为。因此,平衡点是局部渐近稳定的。我们已经讨论了(3)没有延迟。在下一节中,我们将调查模型时存在延迟,试图分析妊娠时间滞后的影响。

3所示。稳定和霍普夫分岔的存在

现在我们假设并把它作为分岔参数获得结果的稳定性。众所周知,稳定性的变化将发生的。首先,不是一个特征方程的根(6)。否则,我们会,荒谬的。其次,我们注意到(6)的一个指数多项式系数取决于。因此,我们使用这种方法引入的伯莱塔和旷23),提供纯虚根的存在与时滞相关的特征方程系数。找出改变的稳定性我们替代的位置在(6),然后将我们得到的实部和虚部 通过广场两边系统(7),然后相加,得到以下方程:

引理2。让。然后(8)有一个积极的根源 如果以下条件成立:

证明。解决(8)导致(9),这是定义良好的。当,这意味着;也就是说,和。第一个这两个不等式的收益率。让。然后上面的条件降低。结论。

推论3。(1)让。然后条件(10)等价于。
(2)让。然后条件(10)等价于

证明。让。然后(10)是。因此,我们得到,这始终是满意的在这种情况下。让。然后(10)成为。直接计算收益率的声明。

定义 与 请注意,因为对数参数大于1。据伯莱塔和邝的(23过程中,我们现在的替代品(9)系统(7)和定义的角度为的解决方案 一个充分必要条件,解决方案(8),是特征根(6)的参数在系统(7),在系统(14)的关系 然后,我们可以定义函数 可以获得的显式表达式(14)如下: 因此,,,是一个纯虚根(6)当且仅当是一个零的功能,在那里

命题4。特征方程(6)有一双简单的纯虚根,,在,只要对于一些。此外,这对纯粹简单的共轭虚根穿过虚轴从左到右从右到左,穿过虚轴,在那里

证明。首先,我们证明是一个简单的根(6)。如果是一个重根呢适用,导致,这是一个矛盾。区分(6)对,我们发现 使用(6)和(8),有 注意到(8)的收益率 上面的重写为 因此, 区分(18)对和使用(17),它是 自给了比较(25)评估(24),结论成立。

我们可以很容易地观察到以下的属性。(1) ,因为和。因此,没有零对于任何如果没有零。(2)从(9),我们有。因此,。(3)作为,,我们得到作为。(4)作为,,我们得到作为。

不失一般性,我们可以假设,如果有积极零呢在这些点;也就是说,零很简单。霍普夫分岔定理申请泛函微分方程(见黑尔的书(25]),我们可以得出结论霍普夫分岔的存在。

总结上述分析,我们可以状态下两个定理的主要结果。

定理5。让。(我)一个开关总是存在于稳定因为这个函数至少有一个积极的简单的零吗。(2)这个函数有一个有限数量的积极的简单的0,对于任何这些根的数量是奇数;说,分别。(2₁)方程(3)经历了霍普夫分岔的平衡当,。(2₂) 是局部渐近稳定和不稳定。

定理6。让。(我)如果持有或者和功能没有积极的简单的0吗,然后平衡是局部渐近稳定吗。(2)如果持有,那么函数有一个有限数量的积极的简单的0,对于任何固定甚至这些根基的数量;说,分别。(2₁)方程(3)经历了霍普夫分岔的平衡当,。(2₂) 是局部渐近稳定和和不稳定。

为了阐明系统的有趣的动态属性表示定理5和6我们现在采取的一些数值实验通过以下配置参数:

在整个节可能会是几个月前资本的数量可以用于生产。我们首先考虑(26)。图1显示一个独特的零的存在。根据定理5平衡是局部渐近稳定的和经历的霍普夫分岔。就在这个值一个封闭曲线不变的存在。足够大的时间延迟不存在可行的轨迹。

我们现在考虑(27)。如果足够大()我们在(我)的定理6没有零存在是局部渐近稳定和平衡。数值我们确认不存在零之前,在那里α的值是这样吗切是水平轴(见图2(一个))。

为有两个积极的0。我们设置(见图2 (b))。的零是和。

根据案例(ii)定理6,我们有平衡是稳定的;为平衡进行超临界霍普夫分岔和一个封闭曲线轨迹开始接近不稳定平衡;最后,对于平衡经历第二个霍普夫分岔和平衡恢复稳定(见图的集合3)。没有其他分岔产生更大的价值。

4所示。结论

在本文中,我们提出了一个理论解释经济周期由于人口的原因。我们的模型利用索洛模型的外生储蓄率,外生人口增长、和时间去构建技术。相关的经济和人口变量是通过生产函数。本文提出的模型有几个特点,区别于其他方法的非线性演化demoeconomic变量。不同于一些贡献主题(见,例如,1]),我们不介绍特别的反馈机制来描述非线性现象。此外,我们没有其他来源的非线性模型,如年龄结构(见[12])的人口或行为假设生育率或优化决定孩子的数量(见[13])。尽管如此,比较结果的动态属性。因此,我们可以得出结论,持久的存在周期似乎是一个相当普遍的结果,因为它继电器在共存的资本和非常数的劳动力在生产的商品。从数学的角度来看,我们已经表明,种群动态的引入极大地改变模型的结果对此案(见[22])。如果,系统能够产生稳定的开关和霍普夫分岔时延时变化不明显的。我们已经看到,当,时间延迟可能发挥稳定作用的中间值参数,最终它可能会稳定。