文摘

我们调查跟踪渐近行为的随机加权求和与增量convolution-equivalent分布。我们获得的结果可以直接应用到离散时间保险风险模型与保险和金融风险和获得的限定时间概率的渐近上述风险模型。

1。介绍和主要结果

让 是一个独立且同分布的序列(先验知识)实值随机变量与常见的分布 ,让 是另一个i.i.d.非负r.v序列。年代常见的分布 和右端点 。假设 是独立的 。在本文中,我们感兴趣的是随机加权和 这是因为尾概率的研究 可以直接应用于风险理论。考虑一个离散时间保险风险模型。在期 , ,网络保险损失用实值(r.v)。 。保险人风险和风险投资,导致整体随机贴现因子 从时间 时间 。在术语的Norberg [1),序列 和 分别被称为保险和金融风险。然后,随机加权和 在(1)代表随机贴现值的总净损失时间 , 。像往常一样,破坏的概率 可以定义为 在哪里 被解释为保险公司的初始资本储备。显然,对于每个 , 在哪里 表示积极的部分 , 。如果我们能够建立一个渐近公式 而不需要这样做 ,那么同样的渐近公式应该持有的右边(3)。以这种方式破产概率 有相同的尾概率的渐近行为的 作为 趋向于无穷。

已经有大量的文献研究的尾概率的渐近性态随机加权和 。许多作品被认为是重尾分布情况;也就是说,分布 的 属于某种形式给出的重尾分布类,甚至在某些依赖结构。例如,一个可以参考唐宋Tsitsiashvili [2,3王),和唐4),Zhang et al。5),沈et al。6陈,和袁7高),和王8),和易建联et al。9)等一些细节在这个方向上,分布 严重重跟踪;至于一些轻轻重尾分布 由唐,一些相关结果,Tsitsiashvili [3,10陈,和苏11),Hashorva et al。12),杨et al。13],杨和Hashorva [14),杨和王(15)等等。我们指出,唐Tsitsiashvili [3)取得了一些有趣的尾概率的渐近结果 在某些情况下, 属于subexponential之间的交叉分布类和快速变化的类。

在本文中,我们的目标是要考虑light-tailed情况下,更确切的说,调查的尾概率的渐近性态随机加权求和与增量convolution-equivalent分布。

以后,所有的限制关系保持 趋于无穷。两个积极的功能 和 ,我们写 如果 ;写 如果 ;和写 如果 。

首先我们介绍一些定义在一些类convolution-equivalent分布。一个分布 在 属于一类convolution-equivalent分布,用 , ,如果任何 , 在哪里 表示的卷积 与本身。更普遍的是,一个分布 在 属于类 , ,当且仅当它的右手分布 属于这类;看到pak的推论2.1 (16]。类 被称为subexponential分布的类。一个分布 在 属于类 , 如果只有关系(4)持有。在的情况下 ,我们说 是长尾分布的类。同样,一个积极的功能 据说是尾随如果 对于任何 。显然,如果一个分布 ,那么它的尾概率 是长时间的跟踪。是类密切相关 介绍的Konstantinides et al。17]。一个分布 在 属于类 如果 subexponential,对于一些吗 , 很明显,分布在所有类 , , 是沉重的跟踪。一个分布 r.v。 据说是沉重的尾随如果吗 对于任何 ;否则它是光线跟踪。

为每一个 ,表示的分布 通过 按照惯例, 。现在我们国家主要结果如下。

定理1。如果 对于一些 , ,为所有 , 然后,为每个 ,

备注2。我们的话,唐(18)被认为是类似的结果 ,而定理1处理的情况 补充。

备注3。在定理1关系(7)是一个温和的条件。根据推论1.1唐(19(),关系7)可以进一步暗示了(一) 对于一些 或(b) 对于一些 。

2。主要结果的证明

我们开始本节通过一系列的前题。前两个前题是由于引理3.2和定理2.1的唐20.]。

引理4。两个分布 和 与 和 对所有 关系(7)适用于每个 ,当且仅当存在一个非负函数 这样

引理5。考虑到产品 。分布 的产品属于类 当且仅当 和关系(7适用于所有 。

唐(19)获得了一个有趣的结果表明light-tailed可以转移到一个重尾随机变量通过乘数。

引理6。考虑到产品 与 对于一些 和 。如果关系(7适用于所有 ,然后 。

最后一个引理中可以找到,例如,定理3.14的自由/开源软件等。21]。

引理7。让一个参考分布 在 属于类 。假设分布 在 满足,为每一个 ,函数 长期跟踪, 。然后,它认为

定理的证明1。现在我们开始证明定理的主要结果1。
为每一个 ,写 在哪里 代表平等分配。自 , 它的尾巴分布 迅速变化的 由引理6,我们得到 。此外,由引理4存在一个非负函数 这样,(9)持有。因此,通过(9)和(12),为任何 , 一起, ,意味着 。
我们继续证明关系(8由感应) 。非常,分布 的 或 属于类 和关系(8)适用于 。假设 和(8)适用于 。我们的目标是证明 和(8)适用于 ,,(11),相当于
首先,根据引理2.17的自由/开源软件等。21), 我们有,对于任何 , 一起, ,意味着 由(16), ,我们有任何 , 这表明,函数 是长时间的跟踪。自 和 是相互独立的,因此, ,我们可以应用引理7从归纳假设和(16), 对于上述非负函数 ,从(9)和(18),我们获得 最后一步使用的事实在哪里 ,因为对于任何 , 和 通过 。关系(19)意味着(14)持有。
最后,通过(9)和(20.),我们有 从这 ,引理5给了, 。
这就完成了定理的证明1。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者最感谢两个裁判和编辑器非常彻底阅读论文的和有价值的建议来提高本文的演示。这项研究支持由中国国家自然科学基金(11001052和11001052号),中国博士后科学基金会(没有。2012 m520964),中国江苏省自然科学基金(没有。BK20131339),清局域网项目和项目建设的优越的统计和审计科技江苏高等教育机构。