文摘
Exp-function方法扮演着一个重要的角色在寻找许多非线性微分方程的解析解。在这篇文章中,我们证明了平衡过程的方法是不必要的平衡的非线性项时考虑因变量的产物及其衍生物。在这种情况下,拟设的方法可以简化和更少的参数很容易计算。
1。介绍
在2006年,他和吴首先提出了所谓Exp-function方法寻找孤独的解决方案和周期解的非线性偏微分方程(PDE) (1]。这种方法很快吸引了许多研究者的关注,并成功地应用于许多非线性问题(2- - - - - -31日]。其中,值得一提的是,朱首先应用这种方法差分微分方程,这也表明,该方法是有效的,在这种情况下(8,9]。朱后,戴笠等人广义Exp-function方法寻找新的精确行波解的非线性PDE和非线性差分方程(19]。最近,马等人Exp-function方法扩展到多个Exp-function方法构建多个波解(32,33]。他阐明如何解决分数微分方程与当地部分衍生品通过部分复杂的转换和Exp-function方法(34]。
为了方便起见,我们首先介绍了Exp-function方法简单。
1.1。Exp-Function方法的轮廓
假设我们考虑一个(1 + 1)维非线性PDE形式 利用行波变换 我们得到一个非线性常微分方程(ODE) ',因为它是在下面,表示推导对吗。
Exp-function方法是基于假设的解决方案(3)可以表达如下形式: 在哪里,,,是正整数和确定吗和指定是常数。
然后我们可以表达的最高阶非线性和线性条款(3(方面)4)。在生成的条件,确定和通过平衡订单Exp-function和最高和通过平衡的最低订单。
用(4)的确定,,,到(3),我们可以得到一个方程。设置的所有系数不同的权力为零导致的一组代数方程,,,。确定的值,,,通过求解代数方程,把这些值(4)。因此我们可以获得重要的精确行波解(1)。
1.2。一个开放的问题
在Exp-function方法,平衡计算是费力但之前。然而,我们观察到的平衡过程Exp-function方法研究示例中总是会导致相同的情况和(21]。这一事实部分被证明在16,22]。在[16),阿里已经证明了假设最高阶线性和非线性的和(),分别。在[22),利用相同的方法是由Ebaid证明了非线性项的形式(),(),(),(随着线性项),分别。Ebaid声称在抽象和部分“结论”的文章和是唯一关系”可以通过应用Exp-function拟设为所有可能情况下的非线性常微分方程。”
“不过,一个人不能建造的最高阶非线性项的一般形式,因为有许多其他的可能性比那些认为“(21];阿斯兰和Marinakis得出结论,这些作者把非线性项的一些特殊情况考虑,因此这个问题仍然开放。在本文中,我们将构建一个特殊的例子表明Ebaid的说法是不正确的;即,和不是唯一的关系对于某些特殊的微分方程,因此问题仍然是开放的。
接下来,我们将讨论的关系,,,更有效和简洁的方式。
2。主要结果
2.1。一些术语
首先,我们回忆起一些术语(35]。
一个单项式的变量的集合是一个产品 在哪里非负整数。
的总程度(5)是指数相加的总和:。
据说一个多项式同构如果所有的单项出现在非零系数具有相同的总程度。
例如,是一个产品的及其衍生物和,它的总程度。是均匀的。
2.2。两个引入拟设函数
为了方便起见,我们假设表达形式 在哪里,,,是正整数和确定吗和指定是常数。
本节将使用以下三个公式:
之前我们的定义,我们回忆起一个重要的常数,,,(拟设的4)可以认为是零平衡过程中最高阶的线性项的最高阶非线性项特定的颂歌,所以做常量,,,在拟设(6)。因此,在本文中,我们假设以上八个是非零的常数。
因此,对于拟设(4),我们可以定义拟设函数和如下: 特别是,我们定义的为任意常数。
例如,我们有 根据定义,我们可以发现在拟设(4)=和=。因此,拟设开放问题(4)等于的关系和持有。
2.3。拟设函数的性质
假设,,,在拟设(4)和(6从(),7),我们得到 所以我们有 对于任意的非负整数。
2.4。定理和证明
在本节中,我们假设平衡的非线性项是因变量的产物及其衍生物;也就是说, 在哪里()非负整数。的产品(16)是一种非线性项。换句话说,总度(16)至少是2。
定理1。假设平衡非线性项(3)的产物及其衍生物的形式(16)和平衡线性项,在那里是一个非负整数;然后Exp-function拟设(4)承认和。
证明。矛盾,假设。然后我们有
线性和非线性平衡条件要求
所以我们获得
自,我们得出结果。这是一个矛盾。
结果可以以类似的方式获得;在这里我们省略细节。
备注。因为我们的形式的线性和非线性项在更一般的设定,定理1分别涵盖了阿里和Ebaid所呈现的结果。
2.5。Exp-Function的简化方法
根据定理1如果平衡非线性项是一个产品,拟设(4)可以简化为下面的等价形式: 在哪里是一个免费的正整数和和指定是常数。拟设(20.)简洁和容易计算,使Exp-function方法更简单。
例如,不等人应用Exp-function方法构建的行波解(3 + 1)维修改KdV-Zakharov-Kuznetsev方程形式(25] 行波的转换 有(21)的颂歌 由于非线性项是一个产品的和我们可以立即假设拟设(4)的形式 相当于这个案子吗和在符合不(即,(3.8)25])。
3所示。一个相反的例子
在[22),Ebaid声称他的抽象和是唯一的关系,可以将此方法应用于获得任何非线性ODE。在本节中,我们建立一个反例表明如此和不是唯一的关系。事实上,声称并不适用于每一个非线性齐次的颂歌。
例如,我们可以创建以下的颂歌: 可以写成 我们有 从(27),关系和自动保存。因此,平衡非线性项和线性项,我们不能确定的关系,,,。也就是说,它们是免费的常数。因此可能的关系和成立。换句话说,关系和是不完整的。
4所示。结论
总之,我们现在整个小说的方法证明平衡过程在Exp-function方法时不必要的平衡非线性项的产品考虑因变量及其衍生品。我们的结果覆盖阿里和Ebaid所呈现的结果。我们相信,我们的工作可以作为一个答案阿斯兰等人提出的开放问题。
确认
多谢将匿名裁判的有益的意见和建议和支持中国的NSF(11201427)和浙江大学之江学院的大学基础技术(YJJ0819)。