文摘

的概念 统计的介绍了实数序列收敛Mursaleen (2000)。在本文中,我们证明分解定理 统计收敛。我们还定义和研究 统计收敛, 统计柯西和强烈 可和性在Paranormed空间。

1。介绍

统计收敛的概念被首次引入快(1]。近年来,统计可和性成为最活跃的研究领域之一,可和性理论,进一步推广为有缺陷的统计收敛(2), 静收敛(3),统计 可和性(4),和统计 收敛(5]。马多克斯(6]研究这个概念在局部凸拓扑空间和Kolk豪斯多夫(7)定义和研究这一概念在巴拿赫空间Cakalli [8]扩展拓扑分离群体。统计收敛的概念,研究了概率赋范空间和直觉模糊赋范空间中(9,10]。最近,研究了统计收敛在Paranormed空间和局部固体黎兹空间(11,12),分别。因此,一个人可以选择一些不同的设置来研究这些概念或通过不同的手段推广现有的概念。在本文中,我们将研究的概念 统计收敛, 统计柯西和强烈 可和性在Paranormed空间。

一个paranorm是一个函数 定义在一个线性空间 这样对所有 如果 , , , 如果 是标量的序列 和 , 与 在这个意义上 ,然后 ,在这个意义上 。

一个paranorm 的 意味着 被称为总paranorm在 ,两人 被称为总Paranormed空间。

2。λ统计收敛

让 是一个正数的倾向于不减少的序列 这样 定义的广义de la Vallee-Poussin的意思是 在哪里 。

一个序列 据说是 - - - - - -可和许多 如果

让 是自然数的集合的一个子集 。然后, - - - - - -密度的 被定义为

序列数 据说是 - - - - - -统计收敛数量 (出口的。3,13,14)如果 ;也就是说,如果为每个 , 在这种情况下我们写 我们表示的集合 统计收敛序列的 。以防 , 自然密度和密度降低 统计统计收敛收敛性降低。这个概念的双序列进行了研究[15]。

一个序列 据说是强烈 - - - - - -可和 到限制 (14如果 我们把它写成 。在这种情况下 被称为 - - - - - -限制的 。

以下关系成立于(14]。

定理1。如果 和一个序列 是强烈 - - - - - -可和来 ,那就是 - - - - - -统计收敛来 。如果一个有界序列 - - - - - -统计收敛来 ,那就是强烈 - - - - - -可和来 。
下面的定理 统计康纳的分解定理(16]。

定理2。如果 是强烈 - - - - - -可和或统计 - - - - - -收敛来 ,然后有一个收敛序列 和一个 统计空序列 这样 是收敛来 和 此外,如果 是有界的,那么 和 都是有界的。

证明。由定理1,接下去 是 统计收敛到 如果 强烈 可和, 。集 并选择一个严格递增的正整数序列 这样 为 。定义 和 如下。
如果 集 和 。让 和 。现在我们组 很明显, 和 和 是有限的,如果 是有界的。同时,我们观察到 ,我们有 因此, ,因为 是任意的。
接下来,我们观察到 对于任何一个自然数 和 。因此, ;也就是说, 是 数据为空。
我们现在表明,如果 和 这样 ,然后 对所有 。从建筑,如果回忆 ,然后 只有在 。也就是说,只要 ,然后
因此, 如果 和 。也就是说,
这就完成了这个定理的证明。

3所示。应用傅里叶级数

让 是一个勒贝格可积的函数在环面 ;也就是说, 。的傅里叶级数 被定义为 的傅里叶系数 是由 对称部分和系列(15)是由 傅里叶级数的共轭系列(15)被定义为17卷,我49页。) 显然,它遵循从(15)和(18), 和幂级数 分析在开放的单位磁盘吗 由于这一事实, 共轭函数 的一个函数 被定义为 “基本价值”意义上的 存在于几乎所有的 。

下面是 统计的版本(18)(出口的。19定理2.1 (2)])。

定理3。如果 ,那么对于任何 其傅里叶级数强烈 - - - - - -可和来 在几乎每一个 。此外,它的共轭系列(18)强烈 - - - - - -可和对于任何 共轭函数 中定义的(22在几乎每一个 。

从定理1和3,我们很容易得到以下有用的结果。

定理4。如果 ,那么它的傅里叶级数 - - - - - -统计收敛来 在几乎每一个 。此外,它的共轭系列(18)是 - - - - - -统计收敛共轭函数 中定义的(22在几乎每一个 。

4所示。λ统计收敛Paranormed空间

最近,统计收敛,统计柯西,并强烈采查罗可和性已经被Alotaibi Paranormed空间中研究和Alroqi11]。

在本文中,我们定义和研究的概念 可和, 统计收敛, 统计柯西,和强烈 可和性在Paranormed空间。

让 是一个Paranormed空间。

一个序列 据说是收敛数量 在 如果,每 ,存在一个正整数 这样 每当 。在这种情况下,我们写 - - - - - - , 被称为 - - - - - -限制的 。

我们定义如下。

定义5。一个序列 据说是 统计收敛数量 在 如果为每个 , 在这种情况下我们写 - - - - - - 。

定义6。一个序列 据说是 - - - - - -统计柯西序列 如果对于每一个 存在一个数量 这样

定义7。一个序列 据说是强烈 - - - - - -可和 到限制 在 如果 我们把它写成 。在这种情况下 被称为 - - - - - -限制的 。

现在我们定义另一个类型的收敛Paranormed空间。

定义8。一个序列 在Paranormed空间 据说 - - - - - -收敛来 如果存在一个索引 , , 这样 。在这种情况下,我们写 。

首先,我们证明以下结果 统计收敛 。

定理9。如果 - - - - - - ,然后 - - - - - - 但一般不需要真正的交谈。

证明。让 - - - - - - 。然后,对于每一个 ,有一个正整数 这样 对所有 。自组 是有限的, 。因此, - - - - - - 。
下面的例子显示,反过来不一定是真实的。
例子10。让 与paranorm 。定义一个序列 通过 和写
我们可以看到, 因此
因此 - - - - - - 不存在。另一方面 ;也就是说, - - - - - - 。
这就完成了这个定理的证明。

我们可以很容易地证明以下结果 统计收敛 类似的11]。

定理11。如果一个序列 是 - - - - - -统计收敛在 ,然后 - - - - - -限制是独一无二的。

定理12。让 - - - - - - 和 。然后,(我) - - - - - - ,(2) - - - - - - 。

定理13。让 是一个完整的Paranormed空间。然后一个序列 点的 是 - - - - - -统计收敛当且仅当它是 - - - - - -统计柯西。

定理14。(一)如果 和 ,然后 是 - - - - - -统计收敛来 在 。
(b)如果 是有界的, - - - - - -统计收敛来 在 ,然后 。

定理15。让 是一个完整的Paranormed空间。然后一个序列 点的 是 - - - - - -统计收敛当且仅当它是 - - - - - -统计柯西。

请注意,定理2.4的证明(11)是不正确的,正确的证明以下定理的推广定理2.4 [11]。另一种形式的这个结果是在20.为理想的收敛。

定理16。一个序列 在 是 - - - - - -统计收敛来 当且仅当它是 - - - - - -收敛来 。

证明。假设 是 统计收敛到 ;也就是说, - - - - - - 。现在,写 。 然后 ,
现在我们必须表明, , 是 收敛到 。在相反的假设 不是 收敛到 。因此,有 这样 无限多的条款。让 和 , 。
然后 和(32), 。因此 与(33),我们得到 是 收敛到 。因此, 是 收敛到 。
相反,假设 是 收敛到 。那么存在一组 与 这样 - - - - - - 。因此,有一个正整数 这样 为 。把 和 。然后 和 这意味着 。因此 是 统计收敛到 ;这是 - - - - - - 。
这就完成了这个定理的证明。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达,在批准号(130 - 073 d1434)。因此,作者承认,由于安全域的技术和财政支持。