文摘

我们认为有时滞泛函微分方程与多个偏差变元的三阶。使用Lyapunov-Krasovskii功能方法,我们给予一定的保证渐近稳定的充分条件和一致有界性的解决方案。

1。介绍

三阶的微分方程是许多现象的建模的有效工具在各领域的科学与工程(Chlouverakis和Sprott [1],Cronin-Scanlon [2),伊奇霍恩说et al。3],弗里德里希·[4)、林茨(5劳赫],[6])。在现实中,特定的非线性微分方程的稳定性和有界性的解决方案的三阶已收到密集关注作者(Ademola et al。7),Afuwape和卡斯特罗8],Chukwu [9),伊佐拉([10,11]),Hara [12),有和Shadman13],Ogundare和Okecha [14],Omeike [15),Reissig et al。16],Swick [17),Tejumola ([18,19]),Tunc [20.- - - - - -33],吉泽章(34])。

2009年,Omeike [15)被认为是常数的三阶非线性微分方程: 和他讨论了方程的稳定性和有界性的解决方案。

在这篇文章中,而不是上面的方程,我们考虑三阶时滞微分方程的多个偏差参数: 在哪里某些积极的常量,和实值和连续函数在各自论点。解的存在性和唯一性的2)也认为。

本文的动机的研究提到了关于三阶常微分方程。由此可见,讨论的方程(15)是一种特殊情况(2)。我们的目标是改善结果成立于(15)从一个多个偏差参数偏离参数渐近稳定和一致有界性的解决方案。这项工作有助于和补充以前已知的结果在文学的主题,它可能是有用的定性行为的研究解决方案。应该注意的是,近年来大量的论文已发表的定性行为的解决方案(稳定的解决方案,有界性的解决方案,存在周期解,等等)的功能与多个偏差变元的二阶微分方程。然而,很少学者注意到泛函微分方程的稳定性和有界性与多个偏离三阶参数([32])。因此,它是一个值得研究的定性行为解决方案multidelay三阶泛函微分方程。本例中是本文的新颖。还应该指出的是,这里的结果建立不同于那些Tunc [20.- - - - - -33]和文献。

2。主要结果

让。

定理1。假设存在一个正的常数,这样,下列条件:(我) , ,(2) 。

如果

然后每个解决方案(2)是统一的有界和满足

备注2。应该注意的是,此前从(ii)和是nonincreasing功能。因此,由于这些功能在这个区间上连续和有下界的,他们是有界的和每一个存在的极限。自(2)是一个任意选定的束缚,我们也可以承担以下估计:

证明。我们写(2)系统中表单如下:
定义一个Lyapunov-Krasovskii功能([35])通过 在哪里 和某些积极的常数,这将在稍后决定的证据。
这个功能可以安排如下: 在哪里
使用定理的假设1,接下去自和。
因此,存在常数和这样 自。进一步,利用定理的假设1和,接下去 这 在哪里
针对前面的讨论,我们可以得到
使用一个基本的计算,对时间的导数的解决方案(6)的结果
使用,估计,我们有 在哪里
注意前面的讨论,它遵循
如果,然后
如果的,也就是说
自,,然后 在哪里和。
因此,我们得到
让。因此,
如果,然后自和。对于那些这样,我们有
因此,
因此,如果 然后我们有
定理的证明1就完成了。

让。

定理3。假设所有定理的假设之一1和假设 持有。如果 然后所有的解决方案(2)是有界的。

证明。方程(2系统)是等价的
在任何解决方案(6),我们有
自的,也就是说 在哪里。注意的是,,我们得到 回忆,。
让,然后 或
乘以每一方的积分因子的估计,我们得到
整合双方的估计从0到t,我们获得 或 在哪里。
自对所有,这意味着
自去年估计的右侧是一个常数当因此,存在一个正的常数这样
从系统(30.)这意味着
定理的证明3就完成了。