文摘

我们得到了指数G鞅与Kazamaki定理条件,告诉一个明显的区别Kazamaki和圆弧的标准的一个例子。

1。介绍和主要结果

出于各种类型的不确定性和金融问题,彭(1)引入了一个新的非线性期望的概念,所谓的期望(参见彭2])与非线性热方程如下: 在哪里拉普拉斯算子和次线性函数被定义为 与两个给定的常数。在一起的概念彭的期望,还介绍了相关的正常分布,布朗运动和相关随机微积分下 期望,而且Ito的公式布朗运动。布朗运动有一个非常丰富和有趣的新结构,非平凡推广了经典。简单来说,一个布朗运动和独立的固定增量是一个持续的过程吗被通常分布在一个给定的次线性期望 。一个非常有趣的新现象布朗运动这是二次过程吗是一个持续的过程与独立的和静止的增量,但并不是一个确定的过程。

最近,徐et al。3)有一个指数鞅定理诺维科夫框架的假设的类型。在这个报告中,我们将介绍次线性版本的经典Kazamaki条件。的主要目的是解释和证明以下定理。

定理1。如果存在一个这样 然后 是一个对称的鞅下。

根据经典案例,结果被称为Kazamaki的条件,可以回忆起如下,任何经典连续鞅,如果 然后鞅 一致可积。显然,Kazamaki原则是弱于圆弧条件。

本文组织如下。节2,我们提出一些标准的概念和符号布朗运动和期望。节3我们证明以上定理,并讨论一些例子。

2。预赛

在本节中,我们回忆下一些概念在我们的分析框架。更多细节,可以看到彭(1]。

让是一个给定的设置,让是一个线性空间上定义的实值函数这样和对所有。

定义2。一次线性期望在是一个具有以下属性的功能,对所有,一个(我)单调性:如果,然后;(2)常量保存:,尽管;(3)次可加性:;(iv)积极的同质性:,尽管。三被称为次线性期望空间,被认为是随机变量的空间。

重要的是要注意,我们可以假设 如果,尽管,在那里表示所有有界和李普希茨功能的空间。在一次线性期望空间,一个随机向量,被认为是独立的来自另一个随机向量,如果每个测试函数,一个 两个维随机向量和分别定义的次线性期望空间和被称为同分布,用吗,如果 对所有。

让和两个实数。一个随机变量在一次线性期望空间被称为正常的分布,用,如果每个定义的函数 是独特的粘性解的非线性热方程如下: 在哪里拉普拉斯算子和次线性函数被定义为

例3(彭2])。让。然后,我们有 对于所有的凸函数和 对于所有的凹函数。

让现在是空间的实值连续函数与初始值,配备了距离 我们表示的Borel-algebra。我们也表示,对于每个, 和,在那里。我们也表示如下:(我) :所有的空间可测量的实值函数;(2) :所有的空间可测量的实值函数;(3) :所有有界的空间元素;(iv) :所有有界的空间元素。让是关闭的关于规范 与。很明显,空间是巴拿赫空间和空间有界连续函数是的一个子集,此外,对于次线性期望空间,存在一个弱紧凑的家庭概率的措施这样 所以我们可以介绍·曲克能力通过

定义4。一组被称为极地如果。据说房地产持有“quasi-surely”(q)如果外面有一个极性。

通过使用上述家庭概率的措施,一个人可以描述空间作为 以下三个结果可以咨询在丹尼斯et al。4胡锦涛和彭[]和5]。

引理5 (Denis et al。4胡锦涛和彭[]和5])。让是一个单调递减的非负随机变量序列。如果q.s.收敛于零,然后有 此外,如果和和是有限的对所有,然后

引理6 (Denis et al。4胡锦涛和彭[]和5])。让。考虑到集和,在那里 然后,(我) 是巴拿赫空间对常态;(2) 是完成关于规范。

引理7 (Denis et al。4胡锦涛和彭[]和5])。对于一个给定的,如果序列收敛于在,然后存在子序列这样收敛于quasi-surely。

我们表示的完成关于规范。

定义8 (布朗运动)。一个过程在一次线性期望空间被称为布朗运动如果满足以下属性:(我) ;(2)为每一个,增加是分布式独立于,尽管和。

的布朗运动具有以下属性:(1)对所有,一个与;(2)对所有可测量的实值有界函数,一个 (3)对所有,一个;(4) 持有人连续订单吗,quasi-surely。

在李和彭6),广义伊藤积分和广义的伊藤公式介绍了布朗运动。任意固定和,一个表示的一组步骤流程如下: 与。过程的形式(25)一个定义了相关博赫纳积分如下: 对于每一个,一集 然后形成了一次线性期望。此外,一个表示的完成根据规范

定义9。对于每一个的形式(25),一个定义的伊藤积分关于布朗运动通过

映射是一个线性连续映射,从而可以不断扩展,这叫做的伊藤积分关于布朗运动以及定义 对所有和。一个人 对所有。此外,这个过程是连续的quasi-surely和 对所有。

定义10(二次变异)。让的分区为,这样作为。二次变化布朗运动被定义为 在。

这个函数是连续的,增加一套极性外,其中一个可以定义的积分 作为一个地图成地图是线性的和持续的,它可以不断扩展。

定义11。一个过程被称为鞅,如果,为每一个,一个 如果两个和是-martingales,被称为对称的鞅。

我们可以很容易地证明过程 是一个鞅为每个,而且这个过程 也是一个鞅为所有。

3所示。定理的证明1

定理12。如果存在一个这样 然后 是一个对称的鞅下,为所有。

证明。自均可积鞅在每个吗和 它遵循Kazamaki的条件是鞅在每个,。因此,,是对称的。
我们现在声称。由引理5,它可以证明
现在, 在哪里和是小的正数。不失一般性,我们。然后我们有 所以我们可以选择和足够小,这样 然后,和 这 自,是鞅在每个,我们有 然后, 这意味着是一个对称的鞅。

作为一个必然的结果,我们可以得到下面的标准,因为

推论13。如果存在一个这样 然后是一个对称的鞅下,为所有。

本节我们将关闭一个例子,讲述了一个不同的区别上述两个标准。让。

定理14。如果,然后 然而,存在一个鞅这样和

显示这个,一个人需要下一个引理。

引理15(见[7])。让是一个均可积鞅,和。然后一个

定理的证明14。首先,让我们考虑停止时间,在那里,并考虑过程。从[8),我们知道是一个对称的鞅,每个概率下测量是一个均可积鞅。然后,它遵循的引理 也就是说,我们使用的关系并完成证明。

确认

这个项目是由国家自然科学基金委(11171062)和上海市教委创新项目(12 zz063)。