文摘
本文的目的是定义一些新类型的可和性双序列方法涉及的思想de la Vallee-Poussin意味着在概率赋范空间的框架下,建立一些有趣的结果。
1。介绍和预赛
在整个论文中,符号和将表示所有自然和实数集,分别。介绍了双序列的收敛的概念Pringsheim [1:我们说双序列实是收敛的Pringsheim的感觉(简单地说,()收敛),鉴于提供存在一个正整数这样每当。
统计收敛收敛是一个泛化的概念首次提出的快速(真正的序列2]和Steinhaus指出[3),独立。它的一些基本性质和有趣的概念,尤其是统计学柯西序列的概念,证明了勋伯格(4],Šalat [5],Fridy [6]。见,例如,(7- - - - - -16)和引用。Mursaleen和爱德17]介绍了二维模拟的自然(或渐近)密度如下:让和,在那里。然后 被称为“上、下渐近一组二维密度分别在竖线代表封闭集的基数,如果,然后 被称为双重自然设置的密度。在同一篇论文中,使用双自然密度的概念,他们扩展统计收敛的概念从单一到双序列(最近的工作,请参阅[18- - - - - -23])。
双序列数量统计收敛吗如果为每个,一组双自然密度为零。我们表示通过(或)。
Mursaleen发起的概念统计收敛(单序列)的帮助下de la Vallee-Poussin的意思是,在24]。对细节的统计收敛,可以称为(25- - - - - -31日和许多其他人。在[32),Mursaleen等人提出的概念统计收敛性和统计学上有界双序列和显示统计学上有界序列的两倍统计收敛当且仅当统计限制下确界等于统计极限上确界(也看到33])。
假设和是两个不减少的正实数序列,这样吗 并且每个趋于无穷时。
回想一下,- - - - - -密度的设置是由 只要存在极限。
我们的话,,和上面的密度降低,自然密度的两倍。
广义双de la Vallee-Poussin意味着被定义为 在哪里和。
我们说是- - - - - -统计收敛数量如果,每, 我们表示通过。
符号将表示所有分布函数的集合(d.f)。不减少的,左连续吗,等于零,这样的。的空间由通常的点态半序排序的功能。
(或一个三角形的标准规范)[34)是一个二元运算满足下列条件。对所有(我) ,(2) ,(3) 每当,(iv) 。
在文献中,我们有两个概率赋范空间的定义,或者简单地说,PN-space;原来是由Šerstnev [35)1962年曾门格尔的概念(36)定义这样的空间,另一个由Alsina et al。37)(更多细节,请参阅[38- - - - - -40])。
根据Šerstnev [35),概率赋范空间是三倍,在那里是一个真正的线性空间,是概率准则,即是一个函数的成,因为d.f。用,的价值是什么在,是一个规范满足下列条件:(我) ;(2) 对所有当且仅当;(3) 对所有,与和;(iv) 对所有和。
2。主要结果
我们定义的概念可和、统计可和、统计柯西,统计推进双序列PN-space和建立一些有趣的结果。
定义1。两个序列据说是- - - - - -可和在(或者,不久,可和)如果为每个,存在这样对所有。在这种情况下,一个写道。
定义2。两个序列据说是统计 - - - - - -可和在(或者,不久,可和)如果,在那里;也就是说,如果为每个,, 或者同样的 在这种情况下,我们写,被称为限制的。
定义3。两个序列据说是统计 柯西在(或者,不久,- - - - - -柯西),如果为每一个和,存在这样,,,一组双自然密度为零;也就是说,
定理4。如果两个序列是统计可和在,也就是说,存在,那么限制的是独一无二的。
证明。假设和。我们必须证明。对于给定,选择这样 然后,对任何,我们定义 自意味着同样的我们有。现在,让。由此可见,因此补非空的设置和。现在,如果,然后 自是任意的,我们获得对所有。因此。这意味着限制是独一无二的。
定理5。如果两个序列是可和,,那就是可和同样的限制。
证明。让我们认为。对于每一个和,存在一个正整数这样 适用于所有。自 包含在,因此;也就是说,是可和,。
例6。这个例子证明了定理的交谈5不需要是真实的。我们表示所有与通常的规范和实数对所有。假设对所有和所有。在这里,我们观察到是一个PN-space。双序列被定义为 为和,写 很容易看到 因此 我们可以看到,序列不是可和在。但是一组双自然密度零自。从这里,我们得出这样的结论:匡威的定理5不需要是真实的。
定理7。两个序列是可和,当且仅当存在一个子集这样和。
证明。假设存在一个子集=;<<<< 这样和。然后存在这样 适用于所有。把和=,。然后=和这意味着。因此是统计可和,在PN-space。
相反,假设是可和,。为和,写 然后和
现在,我们必须表明,,是可和,。假设不是可和,。因此,有这样无限多的条款。让 和与。然后 和(21),。因此与(22),因此是可和,。
定理8。如果两个序列是统计在PN-space可和,然后统计柯西。
证明。假设。让是一个给定的数字,以便我们选择这样 然后,对于,我们有 在哪里这意味着 让。然后。
现在,让 我们需要证明。让。然后,,特别是。然后 这是不可能的。因此。因此,通过(26)。因此,是统计柯西PN-space。
定义9。让PN-space。然后,(我)PN-space据说完整的如果每个柯西序列的两倍收敛的;(2)PN-space据说统计 - - - - - -完整的(或者,不久,- - - - - -完整的如果每一个统计柯西序列PN-space统计可和。
定理10。每一个概率赋范空间是的推进,但还不完整。
证明。假设是柯西但不可和。然后存在这样,,,一组双自然密度为零;也就是说,和 这意味着,因为 如果。因此;也就是说,,从而导致一个矛盾,因为是柯西。因此必须可和。
看到一个概率赋范空间一般是不完整的,我们有下面的例子。
例11。让和为。然后是一个概率赋范空间,但还不完整,因为双序列柯西对吗但不是PN-space收敛的礼物。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这个项目是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达,在批准号(303/130/1433)。因此,作者承认,由于安全域的技术和财政支持。