文摘
图像修复是图像科学的最基本问题之一。全变差正则化广泛用于图像恢复问题的能力保持边缘。在本文中,我们考虑一个双全变差正则化约束的最小化问题。为了解决这个问题,我们采用分割师迭代法和Chambolle的算法。建立了算法的收敛性能。数值结果证明了该方法的有效性在峰值信噪比(PSNR)和结构相似度指数(SSIM)。
1。介绍
图像修复是图像处理的一个基本问题的文献。它扮演着一个重要的角色在各领域如遥感、天文学、医学成像和显微镜(1,2]。许多图像恢复任务可以冒充线性逆问题的形式: 在哪里是一个模糊矩阵由离散点扩散函数(PSF),是一个原灰度图像,是一个退化的观察,是加性噪声。我们的话,矩阵具有特殊的结构,可以利用计算,当周期等特殊边界条件和狄利克雷边界条件施加(3,4]。在这部作品中,PSF被认为是已知的。事实上,如果PSF是未知的,有各种各样的技术手段可用于估计(5,6]。
图像恢复问题经常生病的条件;因此,简单的解决方案(1)通常不会产生有意义的近似7,8]。为了避免这种困难,一个典型的方法是取代线性系统(1)附近的一个系统,对误差不敏感在,认为后者的计算解决方案体系。这种替换被称为正则化。
最受欢迎的正则化方法是Tikhonov正则化9旨在最小化一个惩罚最小二乘问题的形式: 其中第一项是数据保真度的解决方案吗正则化项解决方案的限制平滑。积极的正则化参数扮演的角色平衡保真度和噪声敏感性之间的权衡。正则化算子是一个精心挑选的矩阵,通常是单位矩阵或离散近似第一或二阶导数算子。
在图像处理应用程序,然而,Tikhonov正则化会产生贫困的解决方案(与过度平滑边缘)时所需的解决方案来自于一个图像边缘;也就是说,它过分惩罚不连续的解决方案(10]。在这方面,鲁丁et al。11)提出了一种全变差(电视)正规化有能力保持边缘,去除噪声同时。由此产生的模型(通常被称为Rudin-Osher-Fatemi(学院)模型)已经被证明是成功的在一个广泛的应用于图像处理(12]。我们应该注意,还有许多其他edge-preserving修复技术的文献,如Perona一起的各向异性扩散方法和马利克对去噪13)、形态小波和二元树edge-preserving香和Ramadge提出的方法14]。在本文中,我们专注于电视正规化的最小化问题 在哪里表示离散电视标准。定义离散电视标准,我们首先介绍了离散梯度(15]: 与 为,代表像素的值(在图像入口的向量)。然后离散电视标准定义如下: 在哪里对于每一个。
近年来,很多的算法开发了基于全变差图像恢复和被证明是有效的减少模糊和噪声,同时保留边缘。在最初的电视正规化文献[11),作者提出了一个时间游行计划解决相关的欧拉方程(3)。这种方法的缺点是由于稳定约束非常缓慢。后来,沃格尔和阿曼(16)提出了一个滞后扩散系数不动点方法来解决相同的欧拉方程(3)。他们证明,这种方法有一个全球收敛性质和渐近速度比显式时间游行计划(17]。在[18),陈等人应用牛顿法来解决系统的非线性非系统(3)。Chambolle [15)认为是电视的双重配方去噪问题,提出了一个semi-implicit梯度下降算法来解决由此产生的约束优化问题。这个方法是全局收敛的一个合适的步长。最近,王et al。19)提出了一种快速总波动反褶积方法使用分割技术和构造的迭代过程交替求解一对简单的子问题越来越序列的相关惩罚参数值。在[20.),Goldstein和Osher提出了新颖的分割师迭代算法来处理人工约束;他们的方法有几个优点,如快速的收敛速度和稳定性。
最近,黄等。2)提出了一个最小化问题的形式 在哪里和是积极的正则化参数。作者采用交替最小化算法来解决系统(7)。图像恢复的数值结果显示他们的方法的效率。这种方法类似于一个的想法提出(19]。他们使用的惩罚方法通过引入一个辅助变量。
在[2),最小化问题(7)可以通过两个步骤来解决:一个是由模糊变清晰的步骤,即受雇于Tikhonov正则化,另一步是去噪。虽然噪声可以删除在某种程度上在第二步中,我们可能会失去一些细节去噪前一步,因为Tikhonov正则化使用的第一步(由模糊变清晰),正如我们知道Tikhonov正则化惩罚边缘。
在[21),Chavent和Kunisch认为总有界变差正规化最小化问题的 在哪里都是积极的参数。作者证明了系统的解决方案(8)是独一无二的。在[22),Hinrermuller Kunisch半光滑牛顿法应用于解决Fenchel预对偶(8)。数值结果的图像去噪和缩放/调整显示他们的方法的效率。在[23),刘黄和引入了扩展分割师迭代解决最小化问题(8)。数值模拟说明了良好的重建他们的方法的性能。
注意,无约束问题(3)相当于以下约束的最小化问题: 在哪里。然后使用惩罚方法,我们获得最小化问题提出如下: 在哪里,,是积极的正则化参数。我们注意到的问题(9)是相同的问题(7如果我们设置参数)。最小化问题(10)可以改写如下: 方法解决最小化问题(11)将讨论部分2。我们的数值结果表明,该方法产生的结果无论是SSIM和PSNR。
本文概述如下。在下一节中,我们首先给师分割方法的简要介绍,然后提出了迭代算法求解(10)。给出了该方法的收敛性质3。节4,我们给出数值实验说明该方法的效率。最后,结束语部分可以找到5。
2。交替最小化迭代计划
在本节中,我们得到一个算法来解决最小化问题(11)。之前我们讨论的交替迭代算法求解(11),我们想给简要介绍迭代分割师(20.]。
2.1。师分裂迭代
2.1.1。师迭代
师迭代是一个概念,起源于功能分析寻找凸泛函,得到目标(24]。Osher et al。25]首先应用师迭代高射速模型在图像处理去噪问题。师迭代的基本思想是一个约束优化问题转换为无约束的问题。定义的客观功能转换后的无约束问题是通过师一个凸函数的距离。假设无约束问题是制定 在哪里是凸函数,是凸和可微。师的距离的一个凸函数在点被定义为以下(非负)数量: 在哪里;也就是说,是一次梯度的吗在。然后作者(25)采用师迭代法求解无约束问题(11)。假设,然后师迭代方法或者迭代以下方案: 所示(25,26),当是线性的,迭代(13)可以新配方的简化方法 师迭代技术主要有两个优势传统罚函数/方法延续。一是它收敛很快,应用于某些类型的目标函数,特别是对于问题的地方包含一个正则化项。另一个优势是,的价值在(14)保持不变。参见[20.,25,26为进一步的细节。
2.1.2。师分裂迭代
在[20.),作者认为这个问题 在哪里和是凸和可微。为了解决这个问题(16),他们将约束问题转化为一个无约束的问题:
让和和上述师迭代(14可以同样应用于()17)。然后,他们获得以下优雅的两阶段迭代算法(师分裂迭代方案)。
师分裂迭代: 师分裂迭代收敛稳定属性,它非常快和非常简单的程序。对于更多细节分割师及其应用程序,看到20.,23,27,28]。
2.2。提出交替迭代计划
在本节中,我们提出一种交替最小化算法来解决这个问题(10)。给定一个初始,我们得到 为。的便利,我们表达之间的关系和如下: 我们表示为简单起见,。
考虑最小化问题(10)是对减少到最小化问题 虽然有很多方法来解决(22),我们专注于分割师迭代。让,。根据(18)和(19),我们有 显然,最小化对和在(23)是分离的,因此他们可以单独解决。我们执行subminimization问题(23)有效迭代下面的子问题对最小化和另外: 得到目标由正规方程给出: 在哪里是单位矩阵和代表的伴随。当一个适当的边界条件,正常的方程(26)可以通过快速算法来解决。在本文中,我们施加周期性边界条件,然后是矩阵都是块循环(4,8),可对角化的二维离散傅里叶变换(19]。通过应用卷积定理,我们得到 “*”表示复杂的共轭性,””表示特定组件的乘法,,,该部门是特定组件。
得到目标(25)可以由以下收缩公式:
|
||||||||||||
考虑,外面的最小化问题可以解释为电视最小化方案消除干扰中恢复过来由上一步生成的。最小的问题如下: 有几种有效的方法来解决这个问题,如非方法(18,29日],提出的滞后扩散系数不动点迭代沃格尔和阿曼16),半光滑牛顿法(30.[],Chambolle的双重算法15]。Chambolle的对偶算法的简单性,在这里我们采用电视去噪问题(29日)。的想法Chambolle替换图片的优化优化的一个向量场这是相关的通过。对于一个嘈杂的图像向量场是最小化 在哪里 二元变量的吗th像素位置,是连接的吗和离散的散度是由 与。向量是连接的吗。为简单起见,我们表示。提出的迭代计划Chambolle计算最优的解决方案如下: 在哪里步长和吗是th迭代法的迭代最小值;参见[15为更多的细节。后得到目标约束优化问题(31日),可以计算去噪图像
总之,我们获取算法2采用交替最小化方案解决最小化问题(10)。
3所示。收敛性分析
在本节中,我们利用一个定理提出了(31日)算法的收敛性能。下面的定理给出了。
定理1(见[31日])。让是一个平均扩张映射操作员和固定的点的集合非空的。然后对任何,序列弱收敛于一个固定的点。
定义2。一个操作员被称为扩张,如果和 , 给定一个扩张映射算子,让;对于一些,操作员据说是身高是。
定义3。一个操作员被称为逆强烈单调(供应管理协会(ism))如果有,这样 让补的运营商,然后我们可以很容易地得到以下标识: 一个操作员如果是1 -叫做坚定地扩张供应管理协会(ism)。
引理4(见[31日])。一个操作员是扩张映射当且仅当它的补充是- - - - - -供应管理协会(ism)。如果是表示“状态”,,那么操作员是- - - - - -供应管理协会(ism)。
引理5。一个操作员是身高是扩张映射当且仅当它的补充是- - - - - -供应管理协会(ism)。
证明。首先,假设是身高是;从定义2存在一个扩张这样,然后。自从引理,扩张吗4我们有,是- - - - - -供应管理协会(ism)和是- - - - - -供应管理协会(ism)。
现在我们假设是- - - - - -供应管理协会(ism),我们写,因为,从引理4我们有,是- - - - - -供应管理协会(ism)和是扩张映射,然后从定义呢2,操作员是身高是。
引理6(见[32])。让凸和断断续续的。假设定义如下: 定义这样对于每一个。然后和坚定地扩张。
定理7。让和是正数。假设定义如下: 定义这样对于每一个。然后是平均扩张。
证明。让,每,最低(22)是一个独特的观点特点是包含 从次微分的性质,,我们有以下的不平等: 添加这两个不平等,我们获得 很明显,我们有以下不平等: 从(43)和(44),我们得到 然后从定义3,操作员坚定地扩张。类似地,我们可以很容易地获得运营商也坚定地扩张。因此,遵循从引理5的运营商和是平均扩张。
推论8。操作员是身高是扩张。
证明。的前题5和6和定理7,我们知道和都是平均扩张映射操作符和存在扩张映射操作符和这样 因此我们有 集,那么对于任何和, 因此,是扩张,我们重写吗作为 它遵循从定义2的运营商是平均。
根据定理1和推论8,我们得出这样的结论:对于任何初始猜测,由(20.)收敛到最小值在(10)。
4所示。数值实验
在本节中,我们给出了一些数值试验说明该方法图像恢复问题的行为。恢复结果的质量,不同的方法使用PSNR和SSIM定量比较。PSNR值是一个工程术语之间的比例最大可能的噪声信号和腐败的力量影响的忠诚表示。更高的PSNR值,图像质量越高。SSIM是一个著名的质量指标用来衡量两幅图像之间的相似性。该方法由王et al。33),是基于三个具体统计措施更接近人眼感知图像之间的区别。SSIM价值越高,恢复越好。我们也使用模糊信噪比(BSNR)来描述多少添加噪声的模糊图像。假设,是原始图像、模糊和噪声图像,恢复图像,分别和噪音。SSIM的PSNR和BSNR定义如下2,34]: 在哪里是图像的最大可能的像素值(即。,when the pixels are represented by using 8 bits per sample, this is 255): 在哪里 第一项(52)是亮度比较函数衡量两幅图像的平均亮度的亲密关系(和)。这个因素的独特最大= 1当且仅当。第二项是对比比较函数它衡量的亲密两张图片的对比。这里的对比测量的标准差和。这一项达到最大值1当且仅当。第三项是结构比较功能它衡量两幅图像之间的相关系数和。请注意,之间的协方差和。SSIM指标的积极价值。的值为0意味着没有图像之间的相关性,和1意味着。积极的常量,可以被认为是稳定常数接近于零的分母值。在接下来的实验中,我们还将使用SSIM指标映射到显示领域的高/低两个图像之间的相似性,白SSIM指标地图,两幅图像之间的更紧密。我们参考读者看到[33,34地图上SSIM和SSIM指标)为进一步的细节。
BSNR给出的
在接下来的实验中,我们比较方法(该方法我们称之为FNDTV后)FastTV [2]。根据建议[FastTV,2),我们固定它的参数BSNR = 40 dBBSNR = 30 dB,我们确定最佳值如恢复图像与最佳性能。对于我们的方法,我们也确定正则化参数的最佳值为最佳性能。
停止该方法的标准是相对不同的连续迭代重建图像应满足如下不等式: 在哪里恢复图像吗该方法的迭代。我们设置在所有测试两种方法。
四个测试图像,“摄影师”,“桥”“莉娜”和“测试图”,即常用的文献中,在图所示1。我们测试的几种模糊内核包括平均、运动、高斯和失焦。这些不同的模糊内核可以由Matlab生成的内置函数。在所有的测试中,我们添加了不同BSNR的高斯白噪声的模糊图像。
(一)
(b)
(c)
(d)
所有的实验都在Windows XP上运行32位和Matlab v7.10桌面配有英特尔Core2双核2.93 GHz CPU和2 GB的RAM。
4.1。平均模糊的例子
在这个例子中,我们考虑到著名的“摄影师”的形象(),如图1(一)。图像是模糊的箱平均内核和污染BSNR = 40 dB高斯噪声。模糊和噪声图像如图2(一个)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
数据2 (b)- - - - - -2 (d)显示由FNDTV和FastTV恢复图像。我们可以看到重建的视觉质量由FNDTV略优于FastTV的结果。从表1不难看出,恢复图像的PSNR和SSIM FNDTV高于FastTV获得的。
我们也显示SSIM指标恢复图像恢复的地图数据的两种方法2 (e)- - - - - -2 (f),地图可以提供更多信息的质量退化恢复图像。相比之下,SSIM地图图像恢复的方法由FastTV略比SSIM地图更白。
4.2。运动模糊的例子
运动模糊是在这个例子。观察到的图像是所谓的“测试图”11),它是由一个运动退化钻长度7和受高斯白噪声污染BSNR = 30 dB。退化图像如图3(一个)。FastTV和FNDTV恢复图像的数字3 (b)和3 (c)。我们也报告由这些方法PSNR和SSIM值表1。我们看到,恢复图像的PSNR和SSIM值高于FastTV FNDTV方法。此外,SSIM地图通过该方法由FastTV略比地图更白。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4.3。高斯模糊的例子
原始图像如图“桥”1 (c)。模糊和噪声图像退化的高斯模糊半径为3和标准偏差然后被高斯噪声污染BSNR = 40 dB。图4(一)显示了模糊和噪声观测。恢复图像通过FastTV和FNDTV如图4 (b)和4 (c)。两种不同方法的计算结果的PSNR和SSIM表1。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
从表1不难看出,恢复图像的PSNR和SSIM FNDTV高于FastTV获得的。
4.4。片模糊的例子
这个例子包含在恢复图像退化的“莉娜”一片模糊半径为3和污染BSNR = 30高斯白噪声。“莉娜”形象是一个好的测试图像,因为它有一个很好的细节,平坦的区域,阴影区域和纹理和已广泛应用在文献中测试图像修复算法(19]。图5(一个)显示了模糊和噪声图像。恢复结果,两种方法所示数据5 (b)- - - - - -5 (d)和表1列出了PSNR和SSIM值。从表中,我们观察到,恢复图像的PSNR和SSIM值,该方法比通过FastTV什么。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
5。结论
在本文中,我们提出了一种新的高效的基于全变差正则化图像恢复算法。我们给出算法的收敛性证明,数值结果表明,该方法是FastTV竞争状态的艺术方法。除此之外,一个重要特征是,该方法可以很好地抑制噪声,它可以保持恢复图像的细节。我们会考虑延长颜色或其他多通道图像恢复的方法。
利益冲突
所有的合作者没有直接的财务关系与我们的论文中提到的商标可能导致利益冲突的任何合作者。
确认
刘骏,Ting-Zhu黄,如果王973项目支持(2013 cb329404),国家自然科学基金委(61170311),中国大学专业博士学科点专项基金项目(20110185110020),四川省科学。和技术,研究项目(2012 gzx0080)。Xiao-Guang Lv的工作由江苏省自然科学基金支持(BK20131209)。