文摘
当地部分当地部分拉普拉斯方程的变分迭代方法研究。描述的运营商本地部分运营商的感觉。结果表明,该方法是非常有效的。
1。介绍
众所周知,偏微分方程(1,2和分数微分方程3- - - - - -5)出现在科学和工程的许多领域中。因此,各种分析方法和数值方法是(6- - - - - -8]。例如,变分迭代法(9- - - - - -15)是应用于解微分方程(16- - - - - -18),积分方程(19),和许多应用程序不同的非线性方程在物理和工程。此外,部分变分迭代法(20.- - - - - -23)和部分复杂的变换(24- - - - - -27)最近进行了讨论。高效的技术已经成功地解决了一个广泛的一类非线性微分方程的问题;参见[28- - - - - -36)和引用。我们注意到发达的方法很方便,高效和准确。
最近,当地部分变分迭代法(37来自当地的部分运营商[38- - - - - -48]。的方法,准确的计算解决方案在当地部分系列形式或在一个精确的形式,提出了应用科学感兴趣的问题,其他方法不能正确应用。
在本文中,我们调查当地的分数变分迭代法的应用为解决当地部分拉普拉斯方程(49与不同的分形条件)。
本文组织如下。
节2,基本的数学工具进行了综述。部分3简要提出了当地部分变分迭代方法基于局部分数变分对分形拉格朗日乘数法。部分4提出了解决当地部分拉普拉斯方程与微分分形条件。
2。数学基础知识
在本节中,我们提出几个地方分数微积分的数学原理,并介绍当地部分连续性的基本概念,当地的分数导数,当地部分nondifferential函数的积分。
2.1。当地部分连续性
引理1(见[42])。让是真正的线和分形的一个子集。如果bi-Lipschitz映射,然后是常数和,
这样对所有,
作为一个引理的直接结果1,一个42]
这样
在哪里分形维数的。
假设有(38- - - - - -43]
与,因为和,然后被称为当地部分连续吗它用
假设函数满足条件(5),因此它被称为当地的分数区间上连续,用
2.2。当地的分数微分和积分
假设,那么当地的分数阶导数的订单在是由(37- - - - - -43] 在哪里。
当地部分高阶的导数是书面形式(38- - - - - -40] 和本地部分的高阶偏导数38- - - - - -40]
让一个函数满足条件(7)。当地部分的积分的订单在这一期间是由(37- - - - - -43] 在哪里,,,,,,是一个分区的时间间隔。其他地方分数导数的定义,请参阅[44- - - - - -48]。
3所示。当地部分变分迭代法
在本节中,我们介绍了当地的分数变分迭代法来源于当地的分数变分方法分形拉格朗日乘数法(40]。
让我们考虑一维情况下的本地部分变分方法通过以下当地的部分功能,它读取(40] 在哪里在当地的分数微分算子和。
当地部分变分微分是由(40] 在哪里是本地部分变异信号。
当地的非线性分式方程读取 在哪里和分别是线性和非线性当地部分运营商。
当地部分变分迭代算法可以写成(37] 在这里,我们可以构造一个校正功能如下(37]: 在哪里被认为是一个受限制的本地部分变异和是一个分形拉格朗日乘子;也就是说,(37,40]。
确定分形拉格朗日因子后,逐次近似,解决方案的,会容易获得在使用任何选择性分形函数。因此,我们有解决方案 在这里,这种技术称为本地部分变分法(37]。我们注意到经典的变异是恢复当地的分数变化的分形维数等于1。此外,当地部分变分的收敛过程及其算法考虑(37]。
4所示。解决当地部分分形时空的拉普拉斯方程
当地部分拉普拉斯方程(见[38- - - - - -40)和引用其中)是一种重要的微分方程与当地部分衍生品。在下面,我们考虑解决当地部分分形时空的拉普拉斯方程。
案例1。让我们先从本地部分给出的拉普拉斯方程 和服从分形值条件 纠正了当地部分功能(24)读 考虑到当地的分数导数的性质,我们获得 因此,从(25)- (26),我们得到 因此,从(27我们可以推出 我们有等的分形拉格朗日乘子读取 从(24)取初始值,读取 通过使用(25我们当地的部分结构的迭代过程 因此,我们可以推出第一个近似术语 第二个近似可以计算在同样的方式,这是 以这种方式进行,我们得到 因此,最终解决读取
例2。考虑到当地部分拉普拉斯方程
服从分形值给出的条件
现在我们可以结构相同的本地部分迭代过程(31日)。
通过使用(36)- (37我们需要一个初始值
第一个近似词读起来
以同样的方式,第二个近似是由
最后,我们可以获得当地的部分系列解决方案如下:
因此,最终的解决方案是由的表达
众所周知,在分形空间的米塔格-莱弗勒函数可以写在表单中
因此,双方的分形维度和等于。
5。结论
当地分数微积分建立分形和当地部分变分迭代法来源于当地的分数微积分。这项新技术是应用科学家有效处理这些微分和积分方程与当地的部分运营商。变分迭代法(9- - - - - -19,27]来自分数微积分和古典微积分;部分变分迭代法(20.- - - - - -22,27来源于修改分数导数,而当地的分数变分迭代法(37)来源于当地的分数微积分(37- - - - - -43]。其他地方分普通和偏微分方程方法被认为是在27]。
本文的两个杰出典范当地部分变分迭代法的应用拉普拉斯方程详细调查当地的分数。可靠的结果与文献中给出的是互补的。