文摘
我们证明了广义Hyers-Ulam热方程的稳定性,一个类的连续可微的函数在特定条件下的两倍。
1。介绍
让是一个赋范空间和让是一个开区间。如果对于任何函数满足微分不等式 对所有对于一些,存在一个解决方案微分方程的 这样对于任何,在那里是一个表达式,然后我们说上述微分方程Hyers-Ulam稳定。
如果上面的语句也是如此,当我们替换和通过和,在那里功能不依赖吗和明确,那么我们说相应的微分方程广义Hyers-Ulam稳定。(这种类型的稳定有时被称为Hyers-Ulam-Rassias稳定。)
我们可以应用这些术语的其他微分方程和偏微分方程。Hyers-Ulam稳定的更详细的定义和广义Hyers-Ulam稳定,请参考[1- - - - - -7]。
Obloza似乎第一作者调查了Hyers-Ulam线性微分方程的稳定性(见[8,9])。在这里,我们将介绍Alsina和蒙古包(见[1])。如果一个可微函数微分不等式的一个解决方案吗,在那里是一个开放的子区间的,那么存在一个解决方案微分方程的这样对于任何。这个结果被三浦广义et al。(见[10,11])。
2007年,荣格和李12]证明了Hyers-Ulam一阶线性偏微分方程的稳定性 在哪里和是常数,。看来,第一篇论文处理Hyers-Ulam偏微分方程的稳定性是由Prastaro和Rassias13]。最近的结果在这个问题上,请参考[14]。
本文用文献[一个想法15),我们调查热方程的广义Hyers-Ulam稳定 在径向对称函数的类表示的拉普拉斯算子,,,是开着的。热方程中扮演一个重要的角色在许多领域的科学。它是概率论中的布朗运动紧密相关。热方程也与化学扩散,它有时被称为扩散方程。
2。主要结果
对于一个给定的整数,表示任意点的坐标在;也就是说,。我们假设,,是常数,和,我们定义 在哪里。
由于[一个想法162.3.1节),我们可以寻找一个解决方案(4)的形式两次连续可微函数和常量和。根据这个论点,我们定义的 在我们组 和常量和将适当的选择。
定理1。让和等功能, 如果两次连续可微的函数满足 对所有和,那么存在一个解决方案热方程(4),这样和 对所有和。
证明。自属于存在一个函数这样
对于任何和,我们组。使用这个符号,我们计算和:
所以我们有
对于任何,和。
如果我们将和在前面的平等,那么我们有
对所有,和。此外,从最后一个平等和(10),它遵循
或
对所有和。鉴于(9),我们有
对于任何。
我们整合每个术语的不平等来和考虑的定义得到
或
对所有。
根据(17定理1]和(8),存在一个唯一这样
对所有,或等价
对所有和。
现在,我们组
对所有和。然后很容易显示和是一个热方程的解决方案(4)。此外,不平等(11)是一个直接的结果(22)。
推论2。让和是功能。假设,这存在常数和这样 如果两次连续可微的函数满足 对所有和,那么存在一个解决方案热方程(4),这样和 对所有和。
证明。它遵循从(24),
对所有。此外,通过前面的不平等,认为
由于假设,,意味着。
根据定理1,存在一个解决方案热方程(4),这样不平等(27)持有和。
确认
这项研究受到了基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由教育部(没有。2013 r1a1a2005557)和2013 Hongik大学研究基金。