文摘

我们表明,最近的一些结果关于最好的邻近点的存在可以获得相同的结果在不动点理论。

1。介绍

让和是两个非空的度量空间的子集。在本文中,我们采用以下符号和定义:

的概念最好的接近点定义如下。

定义1。让和非空的一个度量空间的子集和non-self-mapping。一个点被称为最好的邻近点吗如果,在那里

同样,多值non-self-mapping,在那里是一个非空的两个度量空间的子集,一个点是一个最好的邻近点吗前提是。

最近,的概念在介绍了财产1)如下。

定义2(见[1])。让是一个非空的一个度量空间的子集与。这一对据说房地产当且仅当 在哪里和。

通过使用这个概念,一些最佳邻近点结果证明non-self-mappings各种类的。在这里,我们其中的一些状态。

定理3(见[1])。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的。让是一种弱收缩non-self-mapping;也就是说, 在哪里是一个持续的和不减少的功能,这样吗是积极的,,。假设一对P-property和。然后,最好有一个独特的邻近点。

定理4(见[2])。让是一对非空的封闭的巴拿赫空间的子集这样紧凑和非空的。让是一个扩张映射的映射;也就是说, 假设一对P-property和。然后,有一个最好的接近点。

定理5(见[3])。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的。让是一个Meir-Keeler non-self-mapping;也就是说,和任何,存在这样 假设一对P-property和。然后,最好有一个独特的邻近点。

定理6(见[4])。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样和满足P-property。让是一个多值non-self-mapping收缩;也就是说, 对于一些和所有。如果有界和关闭在吗对所有和包含在为每一个,然后有一个最好的邻近点吗。

定理7(见[5])。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的。让是一个Geraghty-contraction non-self-mapping;也就是说, 在哪里是一个函数满足如下条件: 假设这两P-property和。然后,最好有一个独特的邻近点。

2。主要结果

在本节中,我们表明,最好的邻近点的存在的主要定理(1- - - - - -5)可以获得self-map的不动点的存在。我们开始我们的论据与下面的前题。

引理8(见[6])。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的,P-property。然后,是一个封闭的两个子集的。

引理9。让是一对非空的封闭的一个度量空间的子集这样非空的。假设一对有财产。然后有一个双射等距这样。

证明。让;然后有一个元素这样 假设存在另一个点这样 的事实有财产,我们得出这样的结论:。考虑到non-self-mapping这样。很明显,是定义良好的。此外,是一个等距。事实上,如果,然后 再一次,因为有财产, 也就是说,是一个等距。

在这里,我们证明最好的邻近点的存在性和唯一性定理3是一个示例的结果为弱收缩self-mapping不动点的存在。

定理10。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的。让是一种弱收缩映射。假设一对P-property和。然后,最好有一个独特的邻近点。

证明。考虑到双射等高在引理9。自,self-mapping,我们有 对所有这意味着self-mapping吗是弱收缩。请注意,由引理是关闭的8。因此,有一个独特的定点(7]。假设是一个独特的定点self-mapping;也就是说,。所以,,然后 由此可见,是一个独特的异己分子弱收缩映射的邻近点最好。

备注11。通过类似的参数,使用这一事实每个扩张self-mapping上定义一个非空的紧凑,凸子集的巴拿赫空间有一个固定的点,我们得出定理4。另外,最好的邻近点的存在性和唯一性Meir-Keeler non-self-mapping(定理5)遵循Meir-Keeler的不动点定理([8])。此外,在定理6纳德勒的不动点定理([9)确保最好的邻近点的存在多值自映射。最后,定理7由于骑士et al .,是来自格拉提神的不动点定理([10])。