文摘
光谱搭配使用基于勒让德多项式近似计算时间费舍尔的类型问题的数值解。空间衍生品Legendre-Gauss-Lobatto插值节点配置。该方法的优点是减少了问题常微分方程组。四级一个稳定的隐式龙格-库塔方案应用于解决了一阶系统。数值结果表明,该Legendre-Gauss-Lobatto搭配方法精度高,有效解决费舍尔的类型方程。结果表明,该方法是强大的算法求解非线性偏微分方程。
1。介绍
光谱方法(见,例如,1- - - - - -5])是强大的技术,我们用数值求解线性和非线性偏微分方程或强或弱的形式。什么使光谱方法有别于其他类似有限差分方法和有限元方法,得到谱方法我们近似高阶正交多项式扩展的解决方案。正交多项式近似可以有非常高的收敛率,这允许我们使用较少的自由度为所需的精度水平。最常见的谱方法的强形式的方程称为搭配。在搭配技巧,必须满足的偏微分方程的一组网格,或更准确地说,搭配点(见,例如,6- - - - - -10])。谱方法也已成为越来越受欢迎的解决分数微分方程(11- - - - - -21]。
在本文中,我们提供了一个精确数值解基于Legendre-Gauss-Lobatto费舍尔的类型方程的搭配方法。费雪方程的形式 首先介绍了费雪(22描述一个突变基因的传播。费雪方程有广泛应用于大量的化学动力学23人口增长)、物流(24],火焰传播[25),人口在一维习惯性26在核反应[],中子数27,神经生理学28),分支布朗运动(23),自催化化学反应(29日,核反应堆理论(30.]。
近年来,许多物理学家和数学家们重视费舍尔在数学物理方程,由于它们的重要性。在[31日),Oǧun和小型赛车利用截断Painleve扩张呈现一些费舍尔和广义费雪方程的精确解。谭et al。28)提出了同伦分析方法找到费雪方程的解析解。Gunzburger et al。32)应用离散有限元近似获得强制费雪方程的数值解。Dag et al。33讨论和应用费舍尔的b样条有限元离散方程。Bastani和Salkuyeh34)提出了紧凑的有限差分方法结合三阶龙格-库塔对费雪方程求解。最近,米塔尔和耆那教徒的35)调查了三次b样条方案解决费雪的反应扩散问题。然而,费雪方程已经被大量的研究在许多其他文章pseudospectral法等数值方法(36,37),有限差分法(38- - - - - -44],有限元法[45),b样条算法(46),和金法47,48]。
提高数值解的精度,光谱搭配方法基于正交多项式往往选择。多哈et al。49)提出并开发了一种新的数值算法求解非线性双曲方程初边值系统基于谱配置方法;Chebyshev-Gauss-Radau搭配方法结合使用的隐式龙格-库塔方案获得高精度近似非线性双曲型方程组。在[50],Bhrawy提出一个高效Jacobi-Gauss-Lobatto搭配方法近似的解的广义Fitzhugh-Nagumo方程Jacobi-Gauss-Lobatto点是用来搭配节点空间衍生品。此外,雅可比光谱搭配方法用于解决一些问题在数学物理,(见,例如,51- - - - - -53])。
的确,没有结果Legendre-Gauss-Lobatto搭配方法解决非线性Fisher-type方程初边条件。因此,这项工作的目的是提出一个数值算法求解这类方程基于Legendre-Gauss-Lobatto pseudospectral方法。在这些网格点空间衍生品近似逼近勒让德多项式的导数二者的解决方案。此外,我们设置边界条件的搭配方法。然后问题是简化为一阶常微分方程组。四级一个稳定的隐式龙格-库塔方案提出了治疗这个方程组。最后,实现一些说明性的例子来说明该方法的效率和适用性。
本文的其余部分的结构如下。在下一节中,勒让德多项式的一些性质,要求实现算法,提出了。部分3致力于Gauss-Lobatto搭配技术的发展为一个基于勒让德多项式Fisher-type方程的一般形式,并在部分4该方法实现获得一些Fisher-type方程的数值结果三个问题精确解。最后,提供了一个简短的结论部分5。
2。勒让德多项式
的勒让德多项式()满足以下罗德里格斯的公式: 我们还记得,是一个多项式的学位,因此,th的导数是由 在哪里 勒让德多项式的解析形式 在哪里, 它还产生从以下关系: 与,,满足正交性条件 在哪里,。让度≤所有多项式的空间,那么对于任何, 让我们定义以下离散内积和规范: 在哪里和的节点和相应的权重Legendre-Gauss-Lobatto求积公式在间隔吗,分别。
3所示。勒让德谱配置方法
因为pseudospectral方法是一种有效和准确的数值方案解决各种问题在物理空间,包括变系数和奇点(见,54,55]),我们建议这个方法基于勒让德多项式近似解的非线性广义Burger-Fisher模型方程和费舍尔与变系数模型。
3.1。(1 + 1)维广义Burger-Fisher方程
在本节中,我们得出一个勒让德pseudospectral算法来解决数值广义Burger-Fisher问题: 在哪里。受
在下面,我们将得到一个有效的数值解的算法(11)- (13)。的近似被赋予的勒让德多项式展开: 利用关系(8)和(10)给 或者同样的
Gauss-Lobatto点介绍了通过(9)。然后我们看到多项式近似可以表现为节点值。的近似空间的一阶偏导数可以计算勒让德Gauss-Lobatto插值节点 在哪里 随后,二阶空间偏导数可能是写在同一搭配节点 在哪里
搭配方法,专门寻找近似解的问题(11)是完全满意的勒让德Gauss-Lobatto集插值点;。精确的近似搭配点。因此,(11使用关系(后)17)- (20.),可以写成 在哪里和。
现在这两个值和可以确定边界条件(12),然后(21)可以新配方 在哪里
近似(22)自动满足边界条件(12),但我们需要一个初始条件的集成(22)。初始条件通常被interpolant最初的功能;这是。因此,近似(11)- (13)简化为常微分方程组的解。考虑
让我们表示 然后(24)可以写成矩阵形式 这个系统的常微分方程可以解决通过四级一个稳定的隐式龙格-库塔方案。
3.2。(1 + 1)维耗散费舍尔与变系数方程
在本节中,我们扩展了应用程序的勒让德pseudospectral方法解决数值费舍尔与变系数方程, 初边条件 在前一小节我们可以获得在相同的形式(19),然后(27)可以配置的勒让德Gauss-Lobatto点为: 可以用矩阵的形式 在哪里
4所示。数值例子
在本节中,三个非线性时变Fisher-type方程在有限区间实现证明该算法的精度和能力,和他们都是在计算机上执行的程序写在Mathematica 8.0。在给定的表是绝对的错误在哪里和准确的和数值解在指定点吗。
例1。考虑非线性时变维Fisher-type方程式 在哪里。受
确切的解决方案是
在表1介绍之间的绝对误差近似与精确解问题(32使用不同的值的方法)和,和。
在的情况下和近似解和绝对错误的问题(32)显示在数字1(一)和1 (b),分别。在图2,我们绘制的曲线近似解和精确解的问题(32为不同的值)(0.0、0.5和0.9)和。从这个图很明显,近似解和精确解完全一致的选择值。
(一)
(b)
例2。考虑非线性时变维广义Burger-Fisher-type方程式 在哪里。受
确切的解决方案(35)是
绝对错误的问题(35)表中列出2使用L-GL-C方法,和各种选择。
为了说明勒让德pseudospectral方法的有效性问题(35),我们显示在数字3(一个)和3 (b)近似解和绝对误差,,。图形曲线的精确和近似解的值不同(0.0,0.5,和0.9)在图给出4。此外,近似解和绝对误差,,显示在数据5(一个)和5 (b),分别。曲线的精确和近似解的问题(35),显示在图6值的参数列在其标题。
(一)
(b)
(一)
(b)
例3。考虑到与变系数非线性时变维Fisher-type方程式 在哪里。受
确切的解决方案(38)是
表3列出了绝对错误的问题(38使用L-GL-C方法)。从这个表的数值结果,可以得出结论,数值解与精确解的协议。
5。结论
本文基于Legendre-Gauss-Lobatto pseudospectral近似我们提出一个有效的数值算法来解决非线性时变Fisher-type方程式与常数和变量系数。方法是基于减少非线性偏微分方程转化为一阶常微分方程组的膨胀系数谱的解决方案。也提供了数值例子来说明推导算法的有效性。数值实验表明,勒让德pseudospectral近似与有限数量的搭配简单、准确的节点。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。