文摘

最近,不动点理论图已经被许多作者认为。本文通过结合一些想法发表的一些论文和介绍类型quasi-contractions,我们给一些不动点的结果类型quasi-contractions图表。在文献中结果改善一些旧的结果。

1。介绍

2009年,Ilić和Rakočević证明quasi-contraction地图正常锥度量空间有一个独特的定点(1]。然后,Kadelburg等人广义结果通过考虑额外的假设(2]。同时,他们证明quasi-contraction地图在锥度量空间属性()当。之后,作者证明没有额外的假设和相同的结果通过提供一个新的技术证明(3]。同时,有一些工作quasi-contractive产品描述(见,例如,4,5])。

2008年,铃木引入了一个新类型的映射和泛化的巴拿赫收缩原理(6]。之后,他的方法扩展映射和产品描述(见,例如,7)和引用其中和(8])。另一方面,Echenique做了一个简短的建设性为好2005年的不动点定理证明通过使用图表(9]。2006年,Espinola和柯克开始结合不动点理论和图论(10]。2008年,Jachymski提供了一些巴拿赫不动点结果收缩图(11]。最近,不动点理论图已经被许多作者(见,例如,(12- - - - - -16])。

让是一个度量空间,,一个有向图这样,一组它的边缘包含所有循环。我们表示的转换图通过;也就是说,从获得的图通过逆转的方向边缘。此外,表示从获得的无向图通过忽略边缘的方向。在本文中,我们考虑无向图。我们说一个self-map在保留的边缘每当这意味着对所有。一个有限的路径长度在从来是一个序列不同的顶点,这样,,为(见,例如,12])。一个图表连接任意两个顶点之间如果有路径。弱连接,如果是连接。我们表示所有顶点的集合这之间有一个路径和那些。

2008年,Jachymski使用的概念图获得的主要结果11]。我们说是一个为每一个序列图时在与和对所有,有一个子序列这样对所有(11]。这个概念已经被许多作者在文献中,特别在下令度量空间和获得一些微分方程的解决方案(见,例如,17])。

图是一个条件图看起来很强大,这个原因,Aleomraninejad等人定义的概念图表显示,这些概念是独立在无限的图表(见[12])。我们说是一个图时是一个点的收敛序列和对所有,我们有(12]。在这里,边缘之间的距离的总和吗和;也就是说,。他们证明了相同的结果图和图(见[的结果12])。我们将只使用图表。

本文通过结合所有这些想法和介绍类型quasi-contractions,我们给出一些结果的不动点类型quasi-contractions图表。在文献中结果改善一些旧的结果。

2。主要结果

现在,我们准备状态,证明我们的主要结果。2008年,铃木获得以下结果有趣的定点[6]。

定理1。让完备度量空间,让是一个self-map。定义nonincreasing函数从到通过 假设存在,这样 对所有。然后,存在唯一的不动点的。此外,对所有。

在这篇文章中,假设和是一个图。

定义2。让是一个度量空间,一个自我地图,一个图。我们说是一个类型quasi-contraction每当保留的边缘和存在,这样 对所有,在那里

定理3。让完备度量空间,一个类型quasi-contraction地图这样,对所有。然后,有一个独特的定点。

证明。取。自,我们有 自,我们获得。因此, 对于所有自然数所以是一个柯西序列。自完成,收敛一些。自是一个图,有子序列这样对所有。因此,对所有。我们声称对于一些自然数。争论的矛盾中,我们假设对所有。修复一个自然数并将对所有。选择一个自然数这样对所有。如果,然后 由此可见, 所以,。自≤,我们获得 对所有。现在,我们假设;然后由(6),我们有 这是一个矛盾,因为。所以,我们有 和(3),我们得到 通过考虑上面的不平等和(9),我们推断出 这是一个矛盾。因此,存在这样。自是一个柯西序列,我们获得吗。事实上,如果,从对所有,接下去不是一个柯西序列。因此,是一个不动点的。不动点的唯一性容易遵循。

问题1。什么定理3坚持每吗?

定理4。让完备度量空间。然后,下面的语句是等价的(我) 是弱连接,(2)为每一个类型quasi-contraction地图和的序列和柯西是等价的,在哪里,(3)为每一个类型quasi-contraction地图,。

证明。 让是一个类型quasi-contraction地图和。自,有一个路径在从来。自,对所有和。让。把和。如果下列不等式成立 然后,我们有 如果,然后 如果,然后 不失一般性,假设。然后, 所以。因此, 现在,假设两个不等式(14)不持有。如果 然后 所以 如果,然后我们可以继续在一个类似的过程。在一般情况下,我们得到了所以。因此, 因此,和柯西是等价的。
让。通过使用和上面的过程,我们容易获得。
如果不是弱连接,那么存在吗这样不是空的。取和定义 很明显,。现在,我们证明是一个类型quasi-contraction。出于这个原因,让。自,要么或。在这两种情况下,我们得到了。因此,是一个类型quasi-contraction两个固定的点。这一矛盾就完成了证明。

定理5。让完备度量空间,让是一个类型quasi-contraction和轨道连续self-map上。然后,(我)为每一个,皮卡德运营商,(2) 。

证明。让。然后,。很容易检查是一个柯西序列。让。自是一个图,存在一个子序列这样对所有。因此,对所有。自,。自是轨道连续的,的收益率。为了证明,定义的映射通过对所有。它能充分显示是一个双射的到。自,我们得到的收益率。另一方面,如果,然后这意味着。因此,是满射到。现在,如果与,然后所以通过使用我们获得 这意味着。因此,是一个内射,这就完成了证明。

我们需要以下结果为我们最后的结果。

引理6(见[18])。让是一个非空的设置,让是一个映射。然后,存在一个子集这样和是一对一的。

引理7(见[8])。让是一个非空的设置和映射有一个独特的角度巧合吗在。如果和弱是兼容的吗和有一个独特的公共不动点。

定理8。让是一个度量空间,让和是两个self-maps这样和就完成了。假设和满足下列条件:(我) 意味着,(2)如果和对于一些,然后,(3)存在这样和意味着 然后,和有一个独特的巧合。此外,如果和弱是兼容的吗和有一个独特的定点。

证明。利用引理6,存在这样是一对一的,。定义self-map通过。很明显,定义良好的,保留的边缘。事实上,意味着。请注意,意味着 同时,和躺在对所有。看到这,。然后,对于一些所以。通过使用,。自完成后,通过使用定理呢3,有一个独特的定点在吗,即。因此,是一个巧合吗和。注意,假设显示的重合点的唯一性和。现在,通过使用引理7,很容易看到,如果和弱是兼容的吗和有一个独特的定点。

承认

作者要感谢匿名裁判对他有用的评价早期版本。这篇文章是由院长以来科学的研究(域),阿卜杜拉国王大学,吉达。n沙赫扎德承认与感谢域金融支持。