文摘
布西涅斯克方程的柯西问题的多维研究。我们证明了渐近行为的全球解决方案提供初始数据非常小。此外,我们的全球解决方案可以通过解决相应的近似线性方程当时间趋于无穷时的维数空间。
1。介绍
我们调查的柯西问题以下阻尼在多维布西涅斯克方程: 的初始值 在这里是未知函数的和,,都是正的常数。非线性项。
当,(1)研究了由几个作者。作者调查的第一初边值问题(1)在一个单位圆1])。建立了强解的存在和唯一性,同时构建解决方案系列小参数的形式出现在初始条件。长期渐近也获得显式形式。作者认为(初边值问题1在单位球),建立了相似的结果(2]。
最近,王(3]证明了全球广义解的存在性和渐近衰减问题(1),(2)。他们的证据是基于收缩映射原理和利用急剧衰减估计的线性化问题。本文的主要目的是建立以下最佳的衰减估计的解决方案(1)和(2)通过构建不定积分的条件: 然后我们获得比以前更好的衰变率的解决方案(3]。此外,我们的全球解决方案可以通过解决相应的近似线性方程。衰减估计是最优的,因为我们使用的急剧衰减估计解决方案运营商和,这是由(15)和(16),分别。自解算子奇点,因此,我们构造不定积分的条件和消除奇点和获得相同的衰减估计解决方案运营商。详情;看到引理4。全球的研究存在和波方程的解的渐近行为有着悠久的历史。我们指的是(4- - - - - -10对波动方程)。现在我们国家的结果如下。
定理1。让,让。假设。把 如果适当的小,柯西问题(1),(2)有一个独特的全球解决方案令人满意的 此外,解决方案满足衰减估计: 为在(6),在(7)。
从定理的证明1马上,我们有以下推论。
推论2。让并承担相同条件的定理1。那么解决方案的问题(1),(2),这是建于定理1,可以用线性近似的解决方案作为。事实上,我们有 为和分别在哪里线性解决方案吗。在这里和是由(15)和(16),分别。
符号。为,表示一般的勒贝格空间规范。通常的水列夫空间秩序被定义为与规范。相应的齐次水列夫空间秩序被定义为与规范;当,我们写和。我们注意到,为。
论文的计划安排如下。节2我们得到问题的解公式(1),(2)和证明的衰变性质解决方案运营商出现在解公式。然后,在部分3,我们证明了最优解的渐近衰减问题(1),(2)。
2。衰减特性
本节的目的是获得解决问题的公式(1),(2)。我们第一次调查(的线性方程1): 初始数据(2)。从傅里叶变换,我们有 特征方程(10)是 让相应的特征值(12),我们得到 解决问题的办法(10),(11)的形式给出 在哪里 我们定义和通过和分别在哪里表示傅里叶反变换。然后,应用(14),我们得到 Duhamel原则,我们获得解公式(1),(2), 接下来,目标是建立衰减估计解决方案的运营商和出现在解公式(18)。首先,我们国家的点态估计在傅里叶空间解决方案。结果可以在找到3]。
引理3。问题的解决方案(10),(11)满足 为和,在那里。
从引理3,我们立即得到以下。
引理4。让和的基本解决方案(10)在傅里叶空间中,给出了(15)和(16),分别。然后我们估计 为和,在那里。
引理5。让非负整数,让。然后我们有 为,在那里在(22)。同样,我们有 为。
证明。我们只证明(22)。Plancherel定理和(20.),我们得到 的术语,让,我们有 我们使用持有人不平等和Hausdorff-Young不平等为。另一方面,我们可以估计这个词仅仅是 在哪里。结合(26)- (28)收益率(22)。我们已经完成了引理的证明。
类似于引理的证明5,不难得到以下。
引理6。让,让非负整数。然后我们有以下评估: 为。同样,我们有 为。
3所示。主要结果的证明
为了证明最优解的衰减估计柯西问题(1),(2)。我们需要下面的引理,来自11)(参见[12])。
引理7。假设是一个光滑函数。假设(是一个整数)什么时候。然后为整数,如果和,然后下面的不等式: 在哪里。
定理的证明1。我们可以证明小解的存在性和唯一性的收缩映射原则。在这里我们只显示衰减估计(6)和(7)解决方案(18)满足与一些。首先,我们介绍了数量:
我们应用Gagliardo-Nirenberg不平等。这个收益率
在哪里和。它遵循的定义在(32),
前提是。区分(18)次对和花规范,我们获得
首先,我们估计。我们从(22),,为,
在哪里。通过使用(23),,,这个词,我们获得
接下来,我们估计。我们分分为两部分,继续写,在那里和时间间隔对应吗和,分别。为利用(29日),,,,我们到达
由引理7,我们有估计和。因此,(34),我们有
插入(39)和(40)(38)的收益率
在哪里。在这里,我们假设。为利用(29日),,,和使用(40),我们推断出
方程(41)和(42)给
插入(36),(37)和(43)(35),我们得到
为。因此,我们有,我们可以推断出,前提是适当的小。这证明了衰减估计(6)。
接下来,我们证明(7)。区分(18)对然后微分方程次对,我们有
从(45)和闵可夫斯基不平等,我们获得
它遵循从(24),
通过使用(25),我们得到
最后,我们估计。分分成两部分和写作,在那里和时间间隔对应吗和,分别。首先,我们估计这个词应用(30.),,,和(39),(40),我们到达
接下来,这个词,它遵循从(30.),,,和(40),
收集(46)- (50),它的收益率
用估计到(51),我们到达所需的估计(7)。这就完成了定理的证明1。
确认
这部分工作是支持中国NNSF(批准号11101144)和创新河南省科学家和技术人员队伍建设。对河南省高校青年教师资助计划。