文摘
最近,Abkar和Gabeleh(2013)观察到,一些最佳邻近点下的结果属性可以在定点理论中获得相同的结果。本文出于这个提到工作,我们表明,最邻近点最好的结果在一个度量空间赋予了一个偏序(下财产)可以从现有的定点定理推导出的文学。我们提供了各种模型的例子来说明这个观点。
1。介绍
让和是两个非空的度量空间的子集。通过本文,我们将使用以下符号:
定义1。一个元素据说是一个最好的邻近点nonself-mapping吗当且仅当它满足条件
的概念在介绍了财产1)如下。
定义2。让是一个非空的一个度量空间的子集与。然后两人据说有吗房地产当且仅当 在哪里和。
各种最佳距离不同类别下的nonself-mappings点结果建立了房地产最近(见,例如,1- - - - - -6)和引用)。最近,Abkar和Gabeleh7)下观察到一些最好的邻近点的结果属性可以在定点理论中获得相同的结果。本文的主要目的是证明在许多情况下最好的邻近点的结果(下属性)在半序度量空间也可以从相应的定点定理推导出。我们提供了各种模型的例子来说明这个观点。
2。预赛
作为模型的例子,我们将考虑一些已知的定点定理的框架部分有序的度量空间。
首先,我们需要引入两类的函数。表示由所有功能的类满足下列条件: 是连续的和不减少的, 。
我们表示函数的集合满足下列条件: 不减少的, 为每一个。
通过这篇论文,表示所有自然数的集合。
以下概念以后会有用的。
定义3。让半序集和是一个映射。我们说不减少的(对吗)当且仅当
定义4。让半序集和是一个序列。我们说不减少的(对吗)当且仅当对所有。
定义5。让半序集和是一个度量。我们说是常规当且仅当下列条件:
定义6。让半序集。我们说当且仅当导演呢
在[8),Harjani Sadarangani证明以下定点的结果。
定理7。让半序集,假设存在一个指标在这样是一个完备度量空间。让是一个映射。假设持有下列条件:(我)
是连续的或是常规的,(2)
不减少的,(3)存在这样,(iv)对所有这样,我们有
在哪里。
然后有一个固定的点。此外,序列收敛于不动点。此外,如果是导演,我们有定点的独特性。
在[9),阿加瓦尔等人建立了定点后的结果。
定理8。让半序集,假设存在一个指标在X,这样是一个完备度量空间。让是一个映射。假设持有下列条件:(我)
是连续的或是常规的,(2)
不减少的,(3)存在这样,(iv)对所有这样,我们有
在哪里。
然后有一个固定的点。此外,序列收敛于不动点。
上述结果随后延长Turinici (10]。
通过这篇论文,是一对非空的度量空间的子集,在那里具有偏序吗。我们表示
定义9。一个元素据说是一个最好的邻近点nonself-mapping吗当且仅当
的概念在介绍了财产1)如下。
定义10。让是一个非空的一个度量空间的子集与。然后两人据说有吗房地产当且仅当 在哪里和。
在[11),作者介绍了向近端增加映射的概念。
定义11。一个nonself-mapping据说向近端增加当且仅当吗 在哪里。
定义12。让是一对的非空的子集。一个映射据说是一个等距当且仅当吗
下面的引理以后会有用的。
引理13。让是一对的非空的子集。让是一个双射的映射。然后是一个等距当且仅当吗是一个等距。
证明。假设是一个等距。让和。自是一个等距,我们有什么 也就是说, 然后是一个等距。
引理14。考虑两个nonself-mappings和。假设持有下列条件:(我)
是向近端增加,(2)
双射的,(3)
对所有。
然后映射不减少的(对吗)。
证明。让这样。我们有 自向近端增加,我们得到的。
引理15。考虑两个nonself-mappings和。假设持有下列条件:(我)
双射的,(2)
对所有,(3)存在这样和,(iv)这一对满足财产。
然后。
证明。使用(2),我们有。条件(3),我们有。它遵循的房地产(条件(iv)),这意味着。从(i)和(iii),我们获得。
引理16。让是一对非空的封闭完备度量空间的子集这样非空的,有财产。然后是一个封闭的两个子集的。
引理17。让是一对非空的封闭的一个度量空间的子集这样非空的。假设一对有财产。然后有一个双射等距这样
3所示。讨论和结果
在[11),作者建立了以下最佳邻近点的结果。
定理18。让是一个非空的设置等半序集和吗是一个完备度量空间。让是一对非空的封闭的度量空间的子集这样。让nonself-mapping。假设持有下列条件:(我)
和满足财产,(2)
是一个连续的,(3)
是向近端增加,(iv)存在这样
(v)对所有这样,我们有
在哪里。
然后有一个元素这样
此外,序列,定义为
收敛于该元素。
我们将证明定理给出的最邻近点的结果18是一个不动点定理给出的结果的结果吗7。
3.1。定理的证明18
表示由映射的限制的子集的。自,我们有。从引理17存在一个双射等距这样 考虑到self-mapping。我们将证明映射满足所有条件的定理7。
权利要求1。
就完成了。
从引理16,是一个封闭的完备度量空间的子集。然后就完成了。
要求2。
是连续的和不减少的映射。
从引理13,是一个等距,所以呢上是连续的。自上是连续的上是连续的。因此,self-mapping上是连续的。另一方面,检查增加呢也是一个步骤增加映射。现在,我们主张遵循立即从引理14。
要求3。存在这样。
我们有
使用财产,我们获得,这意味着,也就是说,。自,我们的索赔要求。
要求4。映射满足条件(iv)的定理7。
让这样。自是一个等距,它遵循条件(v)
这证明了我们的说法。
现在,映射满足所有条件的定理7。我们推断出有一个固定的点序列,,定义为 收敛于。
我们声称是一个最好的邻近点吗。事实上,我们有 这意味着,也就是说,。从,我们获得。然后是一个最好的邻近点吗。
让被定义的序列 自 从财产,我们得到 这意味着 它遵循从(25)和(30.),作为。这使得定理的证明18。
评论19。在定理18作者认为只有连续的情况。然而,从定理7,我们也可以删除的连续性假设和替换它的规律的假设。此外,通过假设是导演,我们获得最好的邻近点的唯一性。
3.2。额外的结果
使用相同的技术,我们可以获得一个最佳距离版本的定理8。
定理20。让是一个非空的设置等半序集和吗是一个完备度量空间。让是一对非空的封闭的度量空间的子集这样。让nonself-mapping。假设持有下列条件:(我)
和满足财产,(2)
上是连续的或是常规的,(3)
是向近端增加,(iv)存在这样
(v)对所有这样,我们有
在哪里和
然后有一个元素这样
此外,序列,定义为
收敛于该元素。
证明。我们继续使用相同的符号如定理的证明18。在定理的证明18我们只有检查self-mapping满足条件(iv)的定理8。事实上,让这样,我们有
另一方面,一个评价
我们表示
估计
。
我们有
估计
。
我们有
估计
。
我们有
现在,我们推断出
自不减少的,我们得到的
最后,它遵循从(36)和(43),
因此,我们证明了映射满足条件(iv)的定理8。应用定理8,我们获得的不动点的存在。其余的正是这样的定理证明18,所以我们忽略它。
承认
作者想扩展他们的真诚感谢院长以来在沙特国王大学科学研究的资助这项研究的研究小组项目不以序列- vpp - 237。