文摘
我们给一些充分条件均匀稳定的琐碎的非线性微分系统的解决方案和时间延迟的非线性沃尔泰拉积分微分系统。
1。介绍
Akinyele [1]介绍的概念稳定的程度对一个函数,增加和可微和这样的为和,。江诗丹顿(2]介绍了稳定度的概念,一个普通的微分方程解的有界性程度,对连续积极和不减少的功能;这些概念的某些标准证明。
Morchało [3]介绍了的概念稳定,均匀稳定,非线性系统的平凡解的渐近稳定性。一些新的充分条件提到类型的线性系统的稳定性证明;在这篇文章中是一个标量连续函数。在[4,5),Diamandescu给出了一些充分条件渐近稳定和——(制服)非线性沃尔泰拉积分微分系统的稳定性;在这些论文是一个矩阵函数。此外,在[6),给出了充分条件的制服李普希茨系统的稳定性。
在文献[7),为非线性系统 和非线性沃尔泰拉积分微分系统 通过使用知识基本矩阵和非线性变化的常数,我们给一些充分条件——(制服)系统的平凡解的稳定性。本文的目的是提供充分条件均匀稳定的非线性延迟系统解决方案 和非线性延迟沃尔泰拉积分微分系统 在哪里,为,与在。系统研究[7不包括时间延迟,而所有的系统研究了有时间延迟。
在本文中,我们调查条件的函数根据该系统的简单解决方案(3),(4)和(5)稳定在;使用的主要工具是积分不等式和积分技术。在这里是一个矩阵函数的介绍让我们获得一个混合行为的组件的解决方案。
让表示欧几里得讨论。为,让的规范。对于一个矩阵,我们定义标准。众所周知,
让,连续函数和。
现在我们给的定义(制服)稳定,我们需要在续集。
定义1(见[4,8])。的平凡解(3)((4)或(5)说稳定在如果对于每一个和任何,存在这样,任何解决方案(3)((4)或(5)),它满足了不平等存在,满足了不平等对所有。
定义2(见[4,8])。的平凡解(3)((4)或(5)说均匀稳定如果它是稳定在和之前的是独立于。
2。稳定的系统
为了证明我们的定理,我们需要下面的前题。
引理3。让与,,,。此外,假设和在不减少的功能和为。如果满足 为,,然后 在哪里,。
证明。让是固定的,表示 然后,在不减少的。为通过计算我们得到以下: 假设(如果,执行以下参数而不是,在那里是一个任意常数小,随后通过极限吗完成证明),那么我们得到的 让 然后,我们有 上面的不平等乘以,我们得到 现在考虑区间上的积分获得 所以 为。让,因为,那么我们就有 自是任意选择的,考虑我们得到了(8)。
引理4。让那么在引理3。如果满足 为,,然后 在哪里,。
类似于证明引理的证明3,我们省略细节。
定理5。如果存在函数与,这样 为和所有。此外, 和,在那里,是负的常数。如果是越来越微分同胚映射的。然后,系统的平凡解(3)是均匀稳定。
证明。假设是系统的唯一解3),满足,因为 执行后的变化变量在第二个积分微分同胚映射的倒数吗然后,它遵循 这意味着通过引理3那 所以对于每一个,选择,然后 为和所有。因此,这个定理的结论。
定理6。让所有定理的条件5持有。进一步假设存在的功能与,这样 为和所有此外, 在哪里是一个非负常数。然后,系统的简单解决方案(4)和(5)均匀稳定。
证明。的系统(4),假设是系统的唯一解4),满足,因为
由此可见,
执行后的变化变量(或在一些中间步骤),微分同胚映射的倒数吗。表示
这意味着通过引理3那
为和。因此,对于每一个和,让是一个常数和选择,然后
为和所有。这证明系统的平凡解(4)是均匀稳定。
利用引理4系统的证明(5)是类似于系统(4)和细节都留给了读者。
注7。为,经典的定理,我们得到稳定和均匀稳定。
3所示。例子
示例8。考虑非线性微分系统 在(33),,。让,然后为,很容易验证,,所有定理的假设5满意,所以系统的平凡解33)是均匀稳定。
示例9。考虑非线性沃尔泰拉积分微分系统如下: 在(34),,,,。选择相同的矩阵函数,然后,,为,很容易验证,,所有定理的假设6是满意的,所以系统的平凡解(34)是均匀稳定。
确认
作者非常感谢裁判他们宝贵的意见和建议,帮助塑造论文的原始形式。这项研究受到了中国NNSF (10971139), NSF山东省(ZR2012AL03)和山东教育学院科研基金(J11LA51)。