文摘
构造两个标准保证周期解一个二阶的存在维微分方程组,利用延拓定理。注意到,发现建立的标准与系统的阻尼系数有关,固有频率,参量的激发,非线性项的系数。根据获得的标准,我们调查的周期性运动four-edge的简支矩形薄板系统受到参量的激发。标准的有效性是由相应的数值模拟验证。发现存在的各种薄板系统周期解增加随着模量的比值的增加非线性项的系数和参数激励项,推广和提高已知的文献中给出的相应的成就。
1。介绍
近年来,薄板已广泛应用于汽车、船舶、空间站,快门和现代飞机,等等。因此,薄板的非线性动态行为获得非常可观的注意力在很多文章中可用的技术和科学文献。参见[1- - - - - -6),例如,引用。
在上述作品,基于Schauder第二个不动点定理,Dizaji et al。2]预测周期解的存在性运动控制方程如下: 这可能是来自于非线性简支矩形薄板系统质量的影响下一个相对移动。
张(5和Zhang et al。6参数化)研究了周期和混沌运动的兴奋的矩形薄板的基础上多尺度方法和延拓定理,分别。
据我们所知,有一些研究人员专注于薄板系统的周期解的存在性参量的激发,经过严格的理论证明。相比之下,周期解的存在往往只能通过数值模拟显示。然而,它是严格地证明了定理,可以把更多的光比成千上万的美丽的图片基本性质的周期性。
最近,有很多数学研究人员致力于调查的周期解-Laplacian-like系统,例如,(7- - - - - -12),这可以减少一般二阶常微分方程组。然而,获得的结果不能用于一般非线性方程组,例如,看到13- - - - - -16]。挑战在于增长程度对非线性项通常需要小于或等于为-Laplacian-like系统。例如,片面的生长条件对非线性项在7,8,10,17]给出了如下:
本文建立了两个标准来保证周期解一个二阶的存在维微分方程组。它注意到非平凡周期解的存在是发现受到系统的阻尼系数的影响,固有频率,参数激励非线性项的系数。此外,本文中的参量的激励不仅限于是周期性的。
作为应用程序的标准,存在周期解four-edged的简支矩形薄板系统受到参量的激励研究的部分4这篇论文。此外,相应的数值模拟进行验证的标准实现的可行性。从几个数值结果,注意到薄板系统周期解存在的范围变大与模量的比值的增加非线性项的系数和参数激励项。通过分析参数和数值模拟运行时,很容易发现,在这项研究中给出的建议很少获得已知的文献中,例如,(2,5,6]。
2。预赛和符号
考虑二阶维系统 在哪里,,,是一个对称矩阵的常数。与,,;是一个积极的常数。
接下来,我们回忆起一个重要引理将帮助我们开始相应的研究。
引理1(见[18])。假设和是两个巴拿赫空间,让弗雷德霍姆运营商与指数为零。此外,是一个开放的有界集和L-compact在。如果(1) ,,(2) ,,(3) ,在那里是一种同构。然后,这个方程有一个解决方案。
接下来,为了方便,不失一般性,一些符号在本文介绍了:表示绝对值和欧几里得范数,因为和。同时,我们将,,和与规范和与规范。很明显,和是两个巴拿赫空间。与此同时,表示 在哪里。
它很容易显示系统(3)可转化为等价的抽象方程。此外,定义的,我们看到,,。因此,弗雷德霍姆运营商与指数为零。
让预测 然后,,。
让代表的逆;然后 在哪里
从(5)和(7),这很容易证明是紧凑的在,在那里是一个任意打开有限的子集。
3所示。主要结果
3.1。理论证明
定理2。对所有假设满足以下条件: ,在那里的特征值和。 (我)如果,有一个常数这样 在哪里和。(2)如果,,然后,系统(3至少有一个非平凡如果存在常数周期性的解决方案,这样
证明。让我们嵌入系统(3)到一个参数的系统如下:
自是对称矩阵,正交矩阵,这样
整合双方的11)来给了
应用积分中值定理,存在一个常数,这样
现在,我们声称
在哪里。
情况下1。如果那么,(15)持有。
情况下2。如果,定义
由(14)和简单的计算,我们得到
因此,它可以很容易地看到,(15)持有。
根据(15),我们有
结合不等式(18)和(19)的收益率
因此,它遵循的条件那。然后,我们得到
作为,增加双方的th组成部分(11)在间隔和集成导致
使用夹的不平等和(22),我们有
它是注意到和有界区间上吗。从(21),我们得到
根据条件,很容易看出存在一个常数,这样
结合(21)和(25),我们得到
为,存在一个,这样。然后,它遵循从(11),
因此,我们有
让。为,没有任何的解决方案(11)与所有。基于条件,存在合适的常数和,这样下面的关系
因此,前两个条件的引理1感到满意。
接下来,我们声称引理的第三个条件1也满意。要验证这一点,我们定义同构,。对所有,,我们表示
通过使用条件再一次,下面的关系,当:,
它遵循从(31日),是等位的
因此,最后一个引理的条件1也满意。
应用引理1,可以得出的结论是,这个方程至少有一个周期性的解决方案在与。此外,很明显的周期性的解决方案也是不容忽视的。否则,有一个常向量令人满意的(11),也就是说,
通过简单的计算,我们得到 这与定理的条件吗2。然后,系统(3至少有一个非平凡的周期性的解决方案。因此,我们完成定理的证明2。
定理3。假设和适用于所有那么,系统(3至少有一个周期性的解决方案。
证明。同样的也适用于这个定理证明。我们只需要证明是有界的。
作为,增加双方的th组成部分(11)和集成来收益率
它可以很容易地发现当使用条件。结合(21)和(35),我们得到
注意到,有一个常数,这样。因此,证明了有界性。其余的证明定理的定理是几乎相同的2。
推论4。如果,让。然后,我们有。系统(11)可以简化为以下形式 因此,一个只需要研究系统(37利用上述结果)。
3.2。应用程序
在本节中,我们应用的一些主要结果在前一节中一个著名的模型在实际工程。
我们现在调查的周期运动four-edged的简支矩形薄板系统参量的激励(见图1)。
根据(5,19),我们有以下偏微分控制方程: 在哪里代表的密度板,抗弯刚度,杨氏模量,Poission比率,是应力函数,阻尼系数。
通过伽辽金方法,(38)可以减少无量纲形式如下: 在哪里
接下来,为了说明上述理论结果,几个进行数值模拟。对于系统(39由定理),2,我们一组初始值,让和并选择合适的这样。
通过使用数值在MATLAB 7中,三个家庭的薄钢板系统的动态特性的不同的值和,分别。
为,一个中心对称的周期解平面如图2,保持固定在15。此外,随时间的变化曲线对板的位移和速度也如图3和4同样的条件。是简单的曲线也是周期性的。
如果我们将和,一群薄板的动力学行为系统的飞机,,在获得数据5,6,7,分别。从这些数字中可以观察到的相位图也是中心对称的和历史的时间曲线也是周期性的。此外,根据相应的功率谱,都有一个占主导地位的峰值频率,约等于2.3与对称显然周围。
为,当逐渐增加到20个,一套薄钢板系统的动力学特征是解决数据8,9和10,分别。
在图8,相图飞机也说明是中心对称的,尽管它似乎比以往更加复杂。相应的周期时间历史曲线对板的位移和速度数据中描述9和10。此外,在这种情况下,功率谱与周期解相关承认一种独特的宽带特性。
4所示。结论
本文主要涉及二阶非平凡周期解的存在性维微分方程组。此外,four-edged的简支矩形薄板系统受到参量的激发了作为一个应用程序。理论分析和数值验证产生一些重要结果如下。(我)从证明定理的条件,很容易发现,系统的非平凡周期解,主要是受到系统的阻尼系数的影响,固有频率,参量的激发,非线性项的系数。(2)用的变量,,,进入条件的定理2,结合上面的相图和时间历史曲线显示,一个可以看到,存在一组周期解决方案至少对于系统(39),,,在三组不同的参数值,分别。(3)重要的一点是,系统周期解存在的范围(39)增加的比率的增加和通过简单的计算。(iv)此外,该参量的激励项不需要定期按照定理的证明2以周期形式表现,但上面的图解模型。
确认
作者欣然承认中国的国家自然科学基金的支持(NNSFC)通过批准号11302187,也非常感谢裁判他/她的原始论文的仔细阅读。