文摘
简化修改Kawahara变系数方程的研究利用谎言对称性的方法。然后我们获得相应的李代数,优化系统,相似的减少。最后,我们也提供一些新的显式解某些特殊形式的方程。
1。介绍
谎言对称性的经典理论微分方程是一个鼓舞人心的源代码为各种推广旨在找到方法获得明确的解决方案。谎言的理论提供了一个标准方法1- - - - - -5)寻找谎言点对称群的非线性系统。最重要的是,谎言的无穷小变换方法组织本质上减少了独立变量的数量在偏微分方程(PDE),降低的顺序常微分方程(ODE)已广泛应用于数学物理方程。谎言方法是一种有效的和最简单的方法在组织理论技术和大量的方程(6- - - - - -11)的帮助下解决了这个方法。
在本文中,通过使用谎言对称群方法,我们将考虑以下简化修改Kawahara方程:
在(1)第一项代表了进化术语而第二项代表了非线性项。第三项代表了线性阻尼(6,7,12而第四项是色散项。的与时间有关的系数衰减和色散分别和是任意光滑函数的变量。如果和,(1)成为标准简化修改Kawahara方程(见[13,14)和引用)。
这些KdV方程类型派生模型很多物理现象,如gravity-capillary波在等离子体薄层和magneto-sound传播,(见[14)和引用)。许多研究已经进行这些类型的方程(6- - - - - -8,12- - - - - -18]。在[14一些类()相似解决方案1)被认为是。获得了丰富的孤子解双曲正切法(17]。摘要(18)主要是关心当地Kawahara初值问题的适定性问题,修改后的Kawahara方程在索伯列夫空间。
我们的目标在当前版本的工作是执行变量系数简化修改Kawahara方程借助谎言的方法。然后我们得到对称削减和group-invariant解决方案。
2。李群分类
2.1。谎言对称性分析(1)
在本节中,我们将执行李群方法(1)。
如果(1)点的单参数李群变换下是不变的 与无穷小的发电机 然后读取为不变的条件 在哪里 在这里,表示总导数算子和定义 和。
确定的结构方程(10)和(11)可能给下列三种形式的选择系数。
例1 ()。在这种情况下,解决(7)- (11),我们得到
和(8)成为
在哪里是常数。分析(13)会导致以下三个可能性。(1.1)
是任意的。
对于这种情况,我们得到的向量场 (1.2) 是一个常数。
方程(1)承认一个三维李代数跨越 (1.3) ,是常数。
我们获得相应的两个谎言点对称发电机
例2 (是一个非零常数)。同样,在这种情况下,解决(7)- (11无穷小),我们获得 和(8)成为 在哪里是常数。分析(18)产生以下四种可能。(2.1) 是任意的。
对于这种情况,我们得到的向量场 (2.2) 是一个常数。
我们有相应的二维李代数 (2.3) ,是一个常数。
方程(1)承认一个三维李代数跨越 (2.4) 是一个常数。
替换到(18),你可以得到 在哪里? ?。得到相应的二维李代数
例3 ()。在这种情况下,解决(7)- (11),我们得到
和(8)成为
在哪里是常数。同样,分析(25)产生以下三种可能性。(3.1)
是任意的。
对于这种情况,我们得到的向量场 (3.2) 是一个常数。
得到相应的二维李代数 (3.3) ,是一个常数。
李代数是延长对称发电机
2.2。优化系统一维李代数
首先,我们简要回顾主要的定义(1这将在以下部分中使用。
定义1(见[1])。让吗?吗?是一个谎言。一个最优的系统年代参数子组是共轭性不一样的列表年代参数子组与其他组的属性是一子群共轭在列表中。同样,一个列表年代如果每一个参数的代数形式最优系统年代参数的子代数相当于一个独特的成员列表在某些元素的伴随表示:,。
获得最优系统,我们应用公式(1] 在哪里是一个真正的常数。在这里李代数的换向器由吗
谎言的换向器表点对称(1.2)和共轭对称群的表示(1.2)的李代数给出了表1和2,分别。同样,换向器表和伴随的表征,,表中给出3,4,5,6,7,8,分别。我们给表9最优的代数系统(1.2),? ?,? ?,? ? ? ?,分别。
备注2。为简单起见,我们将引用相对应的方程(1.3),(1.3),等等。
备注3。为简便起见,我们只考虑最优系统方程有关的案例详细(1.2),其余将列在表中9因为他们可以用类似的方式。
3所示。对称削减和准确Group-Invariant解决方案
在本节中,我们将使用表格9获得对称削减和确切group-invariant解决方案? ?,? ?,? ?,? ? ? ?。
3.1。对称削减和确切的解决方案(1.2)
3.1.1。
发电机的group-invariant解决方案,在那里? ?group-invariant,这个解决方案的替代(1.2)给出了简单的解决方案,是一个常数。
3.1.2。
的线性组合,我们有 在哪里group-invariant。用(31日)(1.2),我们减少以下颂歌:
3.1.3。
发电机的,我们有 在哪里group-invariant。用(33)(1.2),我们减少以下颂歌: 在哪里? ?。
3.2。对称削减和确切的解决方案
3.2.1之上。
发电机的,我们得到的group-invariant解决方案是,在那里是一个任意常数。
3.2.2。
发电机的,我们有 在哪里?。用(35),一个人可以得到 在哪里?。
3.2.3。
(我),我们有 在哪里? ?。用(37)收益率
(二),我们得到
3.3。对称削减和确切的解决方案
3.3.1。
发电机的,我们得到的group-invariant解决方案是 在哪里是一个任意常数。
3.3.2。
对于这种情况,我们有 然后用(41)产生了
3.4。对称削减和确切的解决方案
3.4.1。
发电机的,我们得到的group-invariant解决方案是 在哪里是一个任意常数。
3.4.2。
发电机的,我们有 在哪里。用(44),一个人可以得到 在哪里?。
3.4.3。
(我),我们有 在哪里。用(46)收益率
为了寻找其他明确的解决方案,利用雅可比椭圆函数展开法(19]。由于我们介绍拟设的技术解决方案 用(48)(47),你可以得到
因此,我们获得的雅可比椭圆函数解如下: 特别是,当,我们可以获得双曲函数的解决方案 当,我们可以获得三角函数的解决方案 在哪里。
(二),我们得到
备注4。不难发现,减少了常微分方程可分为四类:
4所示。明确的幂级数解
在本节中,我们将考虑显式解析解的一些特殊形式的简化方程利用幂级数的方法。
现在,我们寻求一个解决方案(45)以下的幂级数形式:
现在从(56),比较系数,对吗?,一个人可以得到
一般来说,对,我们获得
从(57)和(58),我们可以获得所有的系数幂级数(55)。为任意常数选择数字,,,,,其他方面也可以确定先后从(57)和(58以独特的方式。此外,它很容易证明幂级数的收敛性(55)的系数(57)和(58)[20.,21]。这里的细节都省略了。在这个连接,幂级数解的显式解析解。
的幂级数解(45)可以写成:
因此,准确的幂级数解是 在哪里任意常数,其他系数可以确定先后从(57)和(58)。
当然,在物理的应用程序来说,它可以方便写的解决方案(45)的近似形式
备注5。剩下的方程的精确解可以用类似的方式。我们这里有省略细节。
注6。很容易看到,减少方程(54)都是高阶非线性常微分方程或非常数的系数。如果我们得到一个单参数对称群的颂歌,然后我们可以减少方程的顺序。然而,我们发现这种简化常微分方程比原始方程要复杂得多。在一般情况下,我们无法获得确切的显式解高阶非线性常微分方程或非常数的系数通过使用初等函数和积分。然而,幂级数可以用来解决这些问题。针对这一点,我们可以发现幂级数的方法(14,15,20.- - - - - -23解决这类常微分方程)是一种有效的工具。此外,从我们的模型,我们可以发现这些幂级数的计算解决方案是重要的数值分析和物理应用。和最重要的是,这些幂级数发挥重要作用在物理现象的调查和其他自然现象。
注7。事实上,尽管剩下的情况下提出了部分2,可以得到最优的系统和对称性降低,但为了简便起见,我们省略了。
5。结论
我们表现的谎言对称分析简化修改Kawahara方程变量系数。那么相似的减少和精确解给出了基于最优的一维李代数系统,对于一些特殊形式的方程。此外,简化方程的幂级数解同时给出。这些新解决方案简化修改Kawahara方程变量系数。对称性分析基于李群方法是一个非常强大的方法,值得进一步学习。
确认
支持的项目是由中国国家自然科学基金(NNSFC)(批准号11171022)。作者表达自己真诚的感谢裁判,本文仔细审查和有用的建议。