文摘
我们研究的性质的光谱热方程的周期问题与一个低阶项和一个偏离的论点。重大影响的低阶项正确的找到这个问题的可解性。我们获得一个标准的强大的上述问题的可解性。
1。介绍
在文献[1]我们构造一个光谱理论模型的微分方程的一阶偏差参数。本文的主要观点(1)一直在进一步发展(2,3]。
我们研究的方程属于一类泛函微分方程。这些方程只有个人作者最近成为研究的主题;特别是,这些方程研究[4- - - - - -6]。泛函微分方程已经被一些作者积极研究最近在论文[7,8]。
本文使用的方法文献[1我们找到了一个解决方案的热方程的混合问题偏离的论点。因此我们得到了经典的边值问题的可解性需要一定的平滑的等式的右边(见(11)的定理4)和很强的可解性的属性提供的问题是低阶项方程的系数(定理11)。
让是一个矩形有界由以下部分:
我们表示函数的集合是两次连续可微的变量一旦连续可微的变量。的边界区域是一组段。
周期性问题。找到一个解决方案的方程 满足的条件 在哪里和是恒定的。
进一步的系数将被称为影响系数。
定义1。这个函数称为一个强大的解决方案(2)- (4如果存在一个函数序列),,满足边界条件的问题等和,分别,收敛和。
定义2。边值问题(2)- (4)强烈的可以解决的如果一个强大的解决方案存在问题的右边这个解决方案是独一无二的。
本研究的目的是研究光谱的性质和低阶项的影响的强大的可解性问题(2)- (4)的空间。
使用傅里叶方法我们得到了强解的存在条件的边值问题(2)- (4)的空间以定理的形式4。线性算子的谱理论的帮助下,我们建立了强大的可解性的标准这一问题,以定理的形式给出11,这是本文的主要结果。
2。结果
问题范围。研究泛函微分算子的谱的性质
定理3。光谱的问题 无限的特征值吗: 和相应的特征函数 形成一组标准正交基的空间,在那里。
证明。通过分离变量的方法,我们得到两个谱问题。第一个问题是Sturm-Liouville狄利克雷条件问题。第二个问题是一阶方程的柯西问题偏差参数,详细研究了在(1]。其余的是小学。
定理4。强解的存在性和唯一性的边界问题(2)- (4),它是必要的,足以满足条件
当此条件满足强烈的解决问题的存在形式
对所有令人满意的
的特征值和形式是由(7)和(8)。
证明是省略了因为这个定理是一个简单的结果之前的定理。
定理5。如果,那么微分算子(5)本质上是自伴的空间,在那里是长方形的,躺在上面的半平面。
证明。它很容易遵循的对称操作符和完整性的特征向量。
定理6。如果(一) ,(b) ,然后逆算子存在,这也是自伴的。
证明。从定理4遵循操作符的存在;遵循平等系列的其余部分中,定理5和已知的平等被使用。
定义7。一个线性算子(不一定有界)的空间被称为正常如果人口定义和关闭,满足条件。
引理8(见[9])。让在希尔伯特空间算子定义的人口。然后(一) 关闭;(b) 允许一个闭包当且仅当是密集的,在这种情况下;(c)如果允许一个闭包。
引理9(见[10])。让正常操作的空间。然后(一) ;(b) 为;(c) 是最大的正常操作。
使用这些词我们获得下一个定理。
定理10。如果,然后关闭操作符是一个正常的操作;也就是说,平等是满意的。
证明。这个公式可以直接验证。
3所示。对算子的谱的性质
定理11。(一)如果,那么存在一个逆算子,这是正常的,紧凑。我们的估计
操作员的频谱是离散的,没有限制在有限的平面的一部分。
(b)如果,,,两个值和是理性的,那么逆算符存在有界但不紧凑。操作员自伴的;其光谱由无限个特征值,其中有无限的无限多个特征值。
(c)如果,,,和至少一个的值
和是不理性的,那么逆算符存在,但不是有界。操作员自伴的,其频谱由无限个特征值和连续谱填充整个实轴。的点的极限点是连续光谱特征值。
(d)如果和对于一些值;,逆操作符不存在。操作员自伴的。如果两个值
和是理性的,频谱由无限个特征值,其中有无限的无限多个特征值。如果至少有一个的值是不理性的,那么算子的谱填满整个实线。
证明。在工作(11新形式)介绍了均匀分布序列的概念模1和也被证明是一个标准的均匀分布。在同一篇论文中他给的例子序列分布均匀模1。最简单的这些序列的序列与一些无理数。
外尔的第一个定理。如果是一个多项式与一个常数项而且不是所有的系数是理性的,那么数字的顺序分布均匀致密无处不在。
特别是:
外尔的第二定理。如果是无理数,点的顺序当绕组实轴周围一圈长度1覆盖均匀致密无处不在。相同的数字将如果方块取而代之的是立方体或第四度,等等。
接下来,我们表明,特征值的集合与增加压实指数吗和。
我们发现的特征值的形式
让我们考虑附近的原点。如果这是一个极限点的特征值,然后逆算子将是无限的。
如果对于某些子序列
这是不可能的,当。如果,然后
因此,
因此,当逆算子存在,是有界的。如果子序列序列的收敛于一个点在复平面,那么序列有界;因此,第二个索引只需要有限数量的值。然后第一个索引需要有限数量的值。我们有一个矛盾,因为假设是一个无限的收敛序列。因此,序列没有限制在有限的复平面的一部分,这意味着算子的谱是离散的。
现在我们将调查是否操作员紧凑。任何序列的子序列,趋向于无穷。事实上,让是一个任意的无限序列的子序列。就有可能发生两种情况:(1)要么第一个索引需要无限的价值,
(2)或第一指数有限数量的值,而第二个索引需要无限的值;因此
由于这一事实,第二个和第三个条件是有界的。
引理12(见[12])。完整的连续性的正常类型的操作符是足以满足必要条件
根据引理12和(17)和(18由此可见,逆算子完全是连续的。因此它的频谱是离散的。
现在考虑的情况。
在这种情况下,特征值的形式
假设,也就是说,
如果和,然后 在;因此这个子序列没有极限点。
如果,,然后
这个表达式转换成一种形式方便我们
为了方便我们介绍以下符号: 在哪里整数部分和吗是小数部分。假设,然后
现在我们使用外尔定理11),我们假设至少一个的值 是非理性的。然后通过外尔定理小数部分,也就是说,,填补了间隔均匀致密的时。然后子序列,到处都是茂密的间隔。
假设,然后,等等;我们获得序列到处都是均匀致密;算子的连续光谱填满整个实轴来。我们现在两个值 是理性的;然后总是合理的。具体让
然后
的小数部分只需要有限数量的值;他们部门的余数通过;这是
当正在从来这些值将重复无数次,至少一个或全部。对我们来说重要的是,他们不配合。
假设,我们看到,
这无限的序列包含在一个段,由有限数量的分数的形式 所以至少其中之一,或全部,或者有些是无限重复很多次。这表明,一些数字段无限多个特征值吗。
继续这个推理的不合理的情况下,我们看到的光谱运算符由无限组特征值和特征值中有无限的无限多个特征值。我们的假设 因此逆算子存在有界但并不是紧凑的特征值的无限多样性的存在,和紧凑的光谱操作符有一个有限的多重性。如果和 对于一些值,逆操作符不存在和零特征值,也许,无限的多样性。在这种情况下,如果至少一个的值 是不理性的,那么算子的谱填满整个实轴。如果这些值都是理性的,那么操作员的频谱由无限个特征值,其中有无限的无限多个特征值。
最后,我们注意到,边值问题(2)- (4)强烈的情况下可以解决的(a)和(b)的定理11但在例(c)和(d)不是。
4所示。结论
通过傅里叶方法,标准强烈混合热方程的柯西问题的可解性与偏差参数被发现。光谱的性质的热方程的周期问题偏离参数详细研究,规范的逆算子通过影响系数估计。影响系数之间的依赖和热操作符的光谱的性质与偏差参数被发现。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版这篇文章。
确认
作者感谢裁判关键评论帮助提高本文的内容。工作的支持下进行的教育和科学哈萨克斯坦(0754年1100 /科幻/ SF)。