文摘

对于integer-order系统,有著名的实用的规则RL草图。然而,这些规则不能直接应用于分数阶(FO)系统。此外,现有文献关于这一主题的稀缺和专门关注相称的系统,通常表示为两个noninteger多项式的比率。实际规则派生的不适用于其他符号表达式,即传递函数表示为佛0和波兰人的比率。然而,这是一个重要的情况,因为它是经典的扩展integer-order通常由控制工程师解决问题。扩展RL实际素描规则这样的FO系统将有助于减少直觉的缺乏对相应的系统动力学。本文对几个RL实际素描规则一传递函数指定为佛0和波兰人的比率。说教的角度提出的主题是,规则应用于几个例子。

1。介绍

根轨迹(RL)分析是一个图形化的方法,显示了闭环传递函数的极点的改变与一个给定的系统参数(1,2]。通常,所选的参数是一个比例增益, ,包括在单位反馈闭环控制系统(图1)。


图1
单位反馈闭环控制系统。

的开放和闭环传递函数 和 ,分别。分母的 特征方程,它的根是系统闭环极点。每一点的RL同时满足著名论点(角)和大小给出的条件

RL是古典和强大的工具integer-order的动力学分析和设计线性定常(LTI)系统(1- - - - - -6]。如今,有有效的数值算法,实现在几个软件包(如MATLAB,八度,Scilab, FreeMat) (7- - - - - -10],利用现代计算机的强大的数字处理器执行RL分析。对于分数阶(FO)系统,而一些研究解决RL(可用11- - - - - -17),问题是更加困难,研究人员主要倾向于采取frequency-based方法。

另一方面,能够快速草图RL手工的基本决策在设计过程的早期。integer-order系统,有著名的实用规则RL素描,但这些不能直接应用到FO系统。此外,现有文献关于这个主题专门关注相称的FO系统的特殊情况下,删除实值积分微分订单时出现一个有限精度(15,16]。这使得一些规则FO系统的概括,但限制精度和符号表达式的类型(17,18]。相称的FO系统的规则并不适用于传递函数表示为佛0和波兰人的比率。然而,这是一个重要的情况,因为它是经典的扩展integer-order问题通常由控制工程师在处理RL分析解决。

在本文中,我们扩展几个实用的规则,用于素描的RL integer-order系统,FO域。主要贡献在于实际素描规则适用于开环传递函数表示为佛0的比例和波兰人,贡献来填补这一缺口的现有文献关于这个话题。说教的角度提出的主题是,规则应用于几个例子,有助于减少缺乏对相应的系统动力学的直觉。

记住这些想法,本文组织如下。部分2介绍了相关的基本概念分数微积分。部分3分析几种FO系统和对佛的RL规则类一系统。最后,部分4吸引的主要结论。

2。分数微积分

微积分的分数微积分(FC)表示分支扩展积分的概念和衍生品noninteger和复杂的订单19- - - - - -23]。在过去的几年,FC发现中发挥基础性作用的造型相当数量的现象(24- - - - - -29日),成为动力系统研究的一个重要工具,古典方法揭示强烈的限制。如今,FC概念的应用程序包括一个广泛的研究(30.- - - - - -33),从金融市场的动态34,35),生物系统(36,37),地球科学(38),和DNA测序39)到机械(40- - - - - -43)、电气(44- - - - - -46)和控制系统(21,24]。

导数的概念的概括和积分noninteger订单, ,解决了几个数学家。Riemann-Liouville, Grunwald-Letnikov,卡普托分数导数的定义是最常用和,分别由[47] 在哪里 ( )代表欧拉伽马函数, )的整数部分 , 是一个时间步。

拉普拉斯变换应用于(2)的收益率 在哪里 和 分别表示的拉普拉斯算符和变量t代表时间。

一般LTI single-input-single-output(输出),和佛不相称的系统可以表示为(48] 在哪里 ( ), ( )分别代表系统的输入和输出, 导数算子, , , , 。此外,它被认为是 , 。

在拉普拉斯域(6)结果传递函数的比例由两个非整数多项式:

如果 , , 和 , ,然后(7)是一个相称的FO系统和可以写成

FO系统被认为是合理的 。

一般来说,一个多项式 的领域是一个多值函数,这是一个黎曼曲面与无限的表(48]。只有在特定的情况下 是理性的,表的数量将是有限的。这种类型的函数时适当的切成了单值的复平面。这个分支切割不是独一无二的,但负实轴通常是选择。在这种情况下,复平面的起源是一个分支点和第一黎曼表, ,被定义为

例如,图2描述了两个黎曼曲面对应的功能 ,它的根源

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
黎曼曲面: 有两张;(b) 有三个表。

为 和 ,黎曼面有两个表(图2(一个)), 和 ,黎曼曲面提供了三种不同的表(图2 (b))。在前一种情况中,没有根,而在后一种情况下,两个根出现在第一张工作表。黎曼曲面在处理RL FO系统很重要,我们将看到在部分3。

3所示。根轨迹

在本节中,我们假设的系统开环传递函数如下: 在哪里 , 和 , 。

方程(11FO)代表直接扩展域的古典integer-order问题通常由控制工程师在处理RL分析解决。RL素描规则适用于本例中列于表1。只有第一个黎曼表将被考虑。

表1
FO系统的实用规则RL草图中定义(11)。

的续集,给出了几个例子,即,(我)一个佛真实杆;(2)两个佛真实的两极;(3)一个佛杆和一个佛零;(iv)一双FO复共轭极点。使用数值算法生成的RL情节提出了(17]。实际的应用草图是几个例子详细的规则,和所有情况下,RL情节阐明系统动力学的目的服务。这将帮助读者获得直觉对系统行为的函数极点和零点部分订单。

3.1。一个分数阶真正的极

在这种情况下,给出了开环传递函数 RL对应的特征方程的根

一般来说,几个黎曼表RL的息差,即RL分支可以开始在一个表,交叉分支切割,进入另一个表。例如,考虑 与 和 ,我们验证特征(13在两个黎曼表(图)的根源3(一个))。然而,选择 结果在五个不同的根表(图3 (b))。

(一)
(一)
(b)
(b)
图3
根轨迹的 (一) 和 导致两张RL分支;(b) 和 导致RL分支在五表。

众所周知,只是第一次黎曼表具有物理意义(49]。因此,在续集中,我们只考虑RL分支对应于第一个表。

观察的RL 我们确认 ,没有闭环极点。然而,对于 ,得到了几个图,如图4。从整数( )表示在图4(一),随着FO极的增加,两个分支的开环极点 对无穷(图和流4 (b))。为 ,我们得到的经典情节和两个垂直的分支(图4 (c))。增加 1( ),两个RL分支仍观察(图4 (d))。当 著名的三个分支RL发生(图4 (e)),最后,当佛极间隔 ,四个分支出现。大的FO值极(即 )也被调查。我们的结论是,RL素描规则同样适用。结果是相同类型的,因此,我们决定不包含它们。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
图4
根轨迹的 为 和 。

实际的规则适用于所有佛的病例。例如,在图所示的RL4 (f),因为 ,RL有四个分支机构。渐近线的质心和角度 和 , , , ,分别。解决的特征方程 ,RL分支的虚轴相交 ,因为 。

3.2。两个分数阶的波兰人

在本节中,我们考虑的开环传递函数

RL是为不同值的计算 ( , )和图表分析。这是观察时,不存在任何RL分支 。中描述了几个RL示例数据5来7为 。这项研究的结果发表在三组:(i) ;(2) ;(3) 。观察到类似的结果 和 。对于这两种情况下,实际素描规则仍然适用。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
图5
根轨迹的 。病例组(i), ( )。

图5显示组(i)的阴谋。当 ,RL实轴中的一个分支(数字5(一个)和5 (b))。作为 增加( ),两个分支的两极 或 ,这取决于的值 和 和趋于无穷(数字5 (c)来5 (f))。

节中说3.1,所有的实用的规则是有效的 ,(15)。用例图所示5 (f)例如,我们有 ,这意味着RL有两个分支。我们有两个开环极点,规则必须使用4确定离开树枝的极点。因此,运用角条件下测试点 和 ,我们获得 和 分别表示没有分支机构可以离开 。规则4在所有情况下都可以使用;然而,一个更容易使用特定的规则对RL仍然需要更多的研究起点和终点之前明确的声明。

角条件也用于确定离开的角 ,导致 。渐近线的质心和角度 和 ,分别。

图6描述了从集团(ii)。结果 ,我们得到的情节代表人物6(一)和6 (b)。我们看到两个RL分支,和之前一样,取决于的值 和 ,可以离开一个或另一个开环极点。在这两种情况下,树枝与角度趋于无穷 。增加的价值 ( ),两个RL分支仍观察(数字6 (c)来6 (h))。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
(g)
(g)
(h)
(h)
图6
根轨迹的 。病例组(二) ( , )。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
(g)
(g)
图7
根轨迹的 。病例组(iii), ( , )。

组(3)的结果见图7。为 RL的人物7(一)来7 (c)显示三个分支,离开相同或不同的开环极点和流向无穷角度 和 。增加 ( 出现(图),四个RL分支7 (d)来7 (g))。

获得的结果为两个佛真实波兰人类似于一个真正的极点。这意味着类似的行为,无论是数量的分支和RL图表的类型,无论何时 和 是接近。应该指出的是,RL不仅取决于相当于秩序 (通过规则2、5、6),还在每个杆的佛。句话说,相同的值 可能会导致不同的RL。

3.3。一个分数阶杆和一个分数阶零

在这种情况下,给出了开环传递函数

RL获得不同的值 ( , )和图表分析。这是观察时,不存在任何RL分支 。数据8来10描述几个RL 。和之前一样,比较宽松,这项研究的结果发表在三组:(i) ;(2) ;(3) 。额外的实验,对不同的值的FO杆和FO零和 。我们得出的结论是,草图规则是有效的情况下,结果都是类似的。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图8
根轨迹的 。病例组(i), ( , )。

图8显示了阴谋集团(i)。我们看到每个RL都有两个分支,取决于订单的分母和分子之间的差异, :当 两个分支收敛,开环零(图8(一个));如果 ,收敛于开环零,另一个分支趋于无穷时(在实轴上)(图8 (b));为 ,两个分支流到正无穷(图8 (c))。

应用规则6例图中描述8 (b),所有实轴点的线 ,我们有 这条线,也就是说,属于RL。使用规则8磨合点计算,导致 。

图9描述了几个阴谋集团(ii),也就是说, 。所有RL仍然有两个分支,依赖的路径之间的区别开环极点和零点的FO(数字9(一个)来9 (e))。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
图9
根轨迹的 。病例组(二) ( , )。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
(g)
(g)
图10
根轨迹的 。病例组(iii), ( , )。

几个RL集团(iii), ,如图10。它可以观察到,所有RL有四个分支,如前所述,路径依赖的命令的区别开环极点和零点。

3.4。一对分数阶复共轭极点

给出了开环传递函数 在哪里 和 表示的共轭 。

策划RL,可以看出,除非没有分支 。在图11,几个RL图所示 。图(11日)描述了RL的 ,我们可以看到,开环极点和点之间有缝隙是分支机构发起。回忆,RL沿着几个黎曼表可以传播,即RL分支可以开始在一个表,交叉分支切割,并输入在另一个表,缺口对应点不属于第一黎曼表。在前面的例子中,当 RL有两个分支(数字(11日)来11 (c))。当 ,分支机构的数量是4。即便如此,为 ,在两个分支(图存在差距11 (d)), 两个额外的小分支离开开环极点和结束接近点,进入另一个黎曼表(图11 (e))。相同的定性行为是观察 (数据11 (f)来11 (g))。图11 (h)描述了RL的 从开环极点,露出八个分公司离职。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
(e)
(e)
(f)
(f)
(g)
(g)
(h)
(h)
图11
根轨迹的 为 ( )。

结论分析,我们使用如图11 (g)强调所有RL实用规则是适用的,也就是说,的渐近线的质心和角度 和 , 、52.9和 ,分别。角条件下用于确定即将离职的角度从南极 ,导致的价值观 , 、68.8和 。

4所示。结论

根轨迹(RL)是一个经典的方法分析和合成的线性定常(LTI) integer-order系统,包括所有可能的路径的情节闭环极点在给定设计参数的变化范围。如今,有高效数值算法致力于RL分析,实现了几个包。integer-order系统,有著名的实用规则RL素描,但这些不能直接应用到FO系统,和现有文献关于这个主题几乎完全集中在特定的情况下,即相称的FO系统。

本文对RL一FO系统的实用规则类,这是由一个开环传递函数表示为一个佛比0和两极。像往常一样,使用实际的规则,即使RL草图可能导致有些不完整,能够快速草图RL手工是非常宝贵的,从控制设计师的角度来看,在基本决策在设计过程的早期。