文摘

同伦分析方法的修改(火腿)称为光谱同伦分析方法(假的)提出解决线性沃尔泰拉积分微分的方程。给出一些例子来测试该方法的效率和精度。虚假的结果表明,该方法相比是相当合理的虚假的结果和精确解。

1。介绍

功能方程,如偏微分方程,积分和积分微分的方程和其他被广泛用来模型复杂的现实问题。许多物理事件在不同领域的科学和工程制定使用积分微分的方程(1,2]。积分微分的方程通常难以解决分析所以需要获得一种有效的近似解(3,4]。同伦分析方法(火腿)首次提出了辽(5]。它是基于同伦的概念在拓扑求解非线性微分方程。与传统微扰方法像李雅普诺夫的人造小参数法(6),Adomian分解方法(7- - - - - -10)和扩张的方法(11),所含的特殊情况,这种方法不需要一个小扰动参数。在火腿,原始的非线性问题转化为线性问题的无数不使用摄动技术(12]。同伦分析方法比传统的微扰方法更强大,因为它适用于求解强非线性问题(13- - - - - -15),即使他们没有任何小的或大的参数。

我们可以调整近似级数的收敛域,给我们自由使用不同的基函数来近似非线性问题。他在[16)提出了所谓的同伦摄动法(HPM)。后来它被‘指出et al。17],HPM只是一个特例的火腿。许多非线性问题就都解决了同伦摄动法(18,19]。HPM不为我们提供强烈收敛级数解非线性问题被Abbasbandy表示在20.)使用一个简单的物理参数是大问题。2010年,Motsa et al。21)采用切比雪夫多项式求解高阶变形方程,他的方法光谱同伦分析方法(假的)。光谱同伦分析方法仅用于解决部分和常微分方程22,23]。Motsa et al。21- - - - - -23)发现光谱同伦分析方法比同伦分析方法更有效,因为它不依赖于规则表达式和遍历性的解决方案。这种方法比同伦分析方法更灵活,因为它允许更广泛的线性和非线性操作符和一个并不局限于使用高阶微分的方法映射求解边值问题在有限领域,与同伦分析方法。容许的范围价值观是更广泛的光谱比同伦分析方法同伦分析方法。火腿在解积分方程的主要限制是选择最好的初始猜测级数解是收敛的。在虚假的初始近似解的非齐次线性方程给出的一部分。

在本文中,我们提出了光谱同伦分析方法(假的)来解决线性沃尔泰拉和弗雷德霍姆积分微分的方程的类型。沃尔泰拉积分微分的方程是由

本文以以下方式组织。部分2包括同伦分析方法的简要介绍。光谱同伦分析方法求解积分方程提出了部分3。然后,我们提出的方法计算这是需要获得吗节4。在数值计算部分5。节6,结束语。

2。同伦分析解决方案

在本节中,我们给出一个简要介绍火腿。我们考虑下面的微分方程的一般形式: 在哪里非线性算子,表示独立变量和分别是一个未知函数。为简单起见,我们无视所有初始和边界条件可以以类似的方式处理。所谓的零变形方程由廖如下: 在哪里嵌入参数,是一个非零convergence-parameter,是一个辅助函数,被称为一个初始猜的和是一个未知函数。此外,是一个辅助线性算子和非线性算子如下: 随着房地产在哪里和是常数, 是一个非线性算子。显然,当和,它拥有和。通过这种方式,增加从来,改变从最初的猜测解决方案和在泰勒级数展开对吗: 在哪里

系列(2。5)是收敛的最初的猜测,如果辅助线性算子的收敛参数,和辅助函数是正确选择:

convergence-parameter的容许和有效值被发现的水平部分曲线。廖证明是原始非线性方程的解决方案之一。作为(2。2)成为

定义了向量。双方的操作,我们有所谓的阶变形方程 在哪里 为是由线性方程(2.10),可以通过符号计算软件解决如枫,Matlab,等等。

3所示。光谱同伦分析解决方案

考虑二阶沃尔泰拉积分微分的方程

获得初始近似解以下两点边值问题: 受边界条件 我们用切比雪夫pseudospectral方法解决(3所示。2)。起初我们近似通过一系列截切比雪夫多项式的形式 在哪里是切比雪夫多项式,系数,Gauss-Lobatto点的极值是哪一个阶切比雪夫多项式,定义的

衍生品的功能在搭配点表示为 在哪里订单的区别和吗是切比雪夫光谱微分矩阵。通过遵循[24我们表达微分矩阵的条目作为 用(3所示。4)- (3所示。6)(3所示。2)的结果 边界条件 在哪里

满足边界条件我们删除第一个和最后一个行和列和第一个和最后一个行和。的值,确定的方程 这是虚假的初始近似解控制方程(3所示。1)。是由零阶变形方程 在哪里 非零收敛控制辅助参数,是一个非线性算子给出了吗

区分(3所示。2)次对嵌入参数然后设置最后他们除以,我们有所谓的阶变形方程 受边界条件 在哪里

应用上的切比雪夫pseudospectral变换(3.15)- (3.17)的结果 边界条件 在哪里和中定义的(3.10), 实现边界条件我们删除第一个和最后一个行和第一个和最后一个行和列。

最后,这个递归公式可以写成以下: 所以,从最初的近似。我们可以获得高阶近似为递归。

4所示。计算

首先考虑的著名的切比雪夫多项式的学位,定义为25]

他们也来自下面的递归公式:

在本节中,我们近似被积函数在(3.15),让 在哪里,基函数。

很明显,,可以通过求解矩阵方程如下: 在哪里,切比雪夫搭配点定义在(2。6)。我们可以获得通过求解上述系统的积分(3.15)可以改写如下: 在哪里 在哪里在[26),这是的集成运算矩阵如下:

5。数值例子

在本节中,我们应用部分中描述的技术3二阶沃尔泰拉积分微分的方程的一些说明性的例子。

例5.1。考虑二阶沃尔泰拉积分微分的方程 边界条件与精确解。

我们雇佣火腿和虚假的解决这个例子。在表1,有一个比较的数值结果对火腿和虚假的近似解在不同的订单。值得注意的是,虚假的结果变得非常高度准确的只有几个迭代和四阶结果变得非常接近精确解。四阶的数值解的比较虚假的解决方案是在图1。它可以看到从曲线(图2和3),如果和那么虚假的一个火腿近似解与精确解以及协议。在表2另一个值,我们现在,虚假的结果在(),也非常准确,在第六次下订单,我们获得精确的数值解。我们选择在火腿作为初始猜测。

例5.2。考虑二阶沃尔泰拉积分微分的方程 边界条件与精确解。

类似于前面的示例中,我们使用火腿和虚假的解决这个例子。在表3,有一个比较数值结果对火腿和虚假的近似解决方案(5。2在不同的订单)。值得注意的是,虚假的结果的收敛速度是高于火腿的结果。16阶的数值解的比较虚假的解决方案是在图4。它可以看到从曲线(图5和6),如果和然后近似解与精确解以及协议。在火腿中,我们选择作为初始猜测。

例5.3。考虑一阶弗雷德霍姆积分微分的方程(27] 边界条件。

在这个例子中,通过改变变量,Fredholm-integro与非齐次微分方程的条件方程转化为齐次条件,然后应用光谱同伦分析方法这一问题。根据控制方程和边界条件,合理设置转换 使管理齐次边界条件。用(5。4)(5。3)和边界条件 边界条件

对比绝对错误的解决方案,通过虚假和勒让德搭配矩阵法(LCMM)列在下表中4。值得注意的是,虚假的结果变得非常高度准确的只有四个迭代。

例5.4。考虑以下二阶弗雷德霍姆积分微分的方程(28]: 在哪里,。

在这个例子中,通过改变变量,Fredholm-integro与非齐次微分方程的条件方程转化为齐次条件然后我们应用光谱同伦分析方法这一问题。根据控制方程和边界条件,合理设置转换 使管理齐次边界条件。用(5。8)(5。7)和边界条件 根据边界条件

对比绝对错误的解决方案通过虚假和火腿是列在下表中5。值得注意的是,虚假的结果变得非常高度准确的只有四个迭代。

6。结论

本文在文献中我们首次提出了光谱的应用同伦分析方法在解决线性积分微分方程(假的)。进行了比较精确的解析解和数值结果光谱同伦分析方法和同伦分析方法(火腿)解决方案。数值结果表明,在虚假的收敛速度快于火腿。例如,在示例5。1我们发现,四阶的近似足够了与数值结果十二位小数。相比之下,火腿的解决方案有很好的协议与11阶的数值结果。在本文中,我们选择的容许值从曲线为和。因为它是如图2和3容许的范围值更大的骗局的火腿。用火腿有限制的选择一个初始近似的高阶变形可以集成而虚假的初始近似的非齐次线性部分的解决方案(3所示。1)。光谱同伦分析方法更有效,因为它不依赖于规则的遍历性系数与火腿。进行一些调整,我们可以应用这种方法对弗雷德霍姆积分微分的方程。在示例5。3(27),我们比较虚假的解决方案和勒让德搭配矩阵法解决线性弗雷德霍姆积分微分的方程(LCCM)。我们可以看到在桌子上4虚假的比LCCM更准确和有效的。在这个工作我们得到数值结果与精确解十二位小数有好协议但报道他们只有六位小数。

在本文中,我们描述了谱同伦分析方法解决线性沃尔泰拉和弗雷德霍姆积分微分的方程;然而,它仍然是更复杂的积分方程的广义和验证,我们认为这是未来的工作。

承认

作者欣然承认,这项研究是由马来西亚Putra大学支持的部分尔格赠款项目下有项目号5527068。