文摘

我们引入了弱的概念ψ锋利的最小值集值优化问题。我们现在的一些充分必要条件,一对点是一个弱ψ锋利的最小值通过外部界限的集值映射的特征和发展薄弱ψ锋利的最小值的广义非线性数值函数。这些结果扩展相应的Studniarski (2007)。

1。介绍

弱的概念一般锋利的最小值的数学程序摩天(首次引入的问题1]。这是一个泛化急剧最低的2]包括nonunique解集的可能性。研究弱锋利的最小值的主要动机是在凸和凸复合应用编程中,通常这样的最小值出现。弱锋利的最小值敏感性分析中起着重要的作用[3,4)和各种优化算法的收敛性分析(5]。最近,研究弱锋利的解集涵盖了实值优化问题(5- - - - - -8和分段线性多目标优化问题9,10]。

在[11),锋利Bednarczuk定义弱帕累托的最小值向量值映射和使用锋利的帕累托最小值证明上Holderness疲软和持有人冷静的解决方案为参数集值映射向量优化问题。在[12),Studniarski给疲软的定义锋利的地方帕累托最小值在多目标优化问题,并提出了必要和充分条件。在[13),徐和李建立了弱的充分必要条件锋利的地方帕累托最小值向量优化问题在无限空间,方法是,他们改变了弱锋利的地方弱帕累托向量值函数的最小值尖锐的标量函数的局部最小值。最近,Durea和Strugariu14]介绍了弱的定义锋利的局部最小值集值优化问题的的距离函数,建立了必要的最优性条件的Mordukhovich coderivative。

摘要出于工作(15,16),我们还介绍了弱的概念锋利的最小值,这是不同的从一个(14),并建立一些充分必要条件通过集值映射的外部界限。特别是,我们开发弱的特征锋利的最小值的广义非线性数值函数。

本文组织如下。节2,我们回忆起一些基本定义和给弱者的概念锋利的局部最小值集值优化问题。节3,我们现在的一些充分必要条件的外极限集值映射。节4,我们建立一个弱的特征锋利的局部最小值的广义非线性数值函数。

2。初步结果

在本文,我们,是真正的赋范空间。表示中心的开球和半径,是所有的家庭社区的,点的距离吗集。这些符号,,分别表示,补充,关闭,室内。让是一个凸锥(包含0)与非空的内部,让部分命令。

让是一个集值映射。我们表示的图和域分别由 如果是的一个子集,然后和的集值映射是给出的当且仅当。

定义2.1。假设是一个封闭的凸尖吗锥。一个点被称为严格有效的(分别地。,弱)的,用(职责。)如果

给出了集值映射和一个子集的,下面的摘要优化被认为是:

定义2.2。假设是一个封闭的凸尖锥。一个点,,据说是当地严格的职责。、弱)的最小值在,写成 ,如果存在一个社区的在这样

我们会说,(全球疲软)是一个全球性的严格解什么时候。所有全球严格解的集合(分别地。,用弱解) 。

定义2.3。让是一个不减少的功能属性(一个家庭用的函数),。我们说一个点是一个弱锋利的地方帕累托最小值(2.3),用,如果存在一个常数和这样 在哪里 如果我们选择,我们会说点对是一个弱锋利的最小值(2.3),用。特别是,让为。然后,我们说是一个弱锋利的局部最小值(2.3)如果。

显然,条件(2.5)可以表示在接下来的等价形式:

2.4的话。显然,如果地图是一个向量值函数,相当于概念定义呢与在[17)和弱锋利的局部最小值的向量优化(12]。

2.5的话。在[14),弱的定义锋利的局部最小值集值优化给定的距离函数。然而,我们建立映射定义的。在地图上实值函数和锥吗,我们定义相当于定义2.1 (14]。

3所示。最优性条件弱锋利的最小值集值优化

在本节中,我们目前的充分必要条件,一双点是弱锋利的局部最小值集值优化问题。

定理3.1。让,,。假设中定义的(2.6)是一个闭集。然后,当且仅当

证明。“只有”部分:假设(3.1)是假的,那么存在序列,,这样和 因此,对于任何,有这样 也就是说,。
假设,存在和这样,(2.5)持有。特别是,对,存在这样,每我们有, 矛盾(2.5)。
“如果”部分:假设的关系(2.5)是假的,那么对于任何和,存在和这样 特别是,选择,存在和和这样 也就是说, 因此,对于足够大,我们有 这与(3.1)。

从定理3.1,我们很容易得到以下结果。

推论3.2。让,,。假设中定义的(2.6)是一个闭集,如果那么,

定理3.3。让,,。让,。假设中定义的(2.6)是一个闭集。然后,以下语句是等价的:(我) ,(2) 。

证明。 通过假设和定理3.1,存在序列,,这样和 让,在那里
考虑向量的第一个组件。让。然后,有一个无限的设置这样。我们有(它可以采取),因为。现在,让我们考虑序列的第二部分。让。因此,存在一个无限集合这样。我们仍然有(它可以采取)。所以,我们有。继续这个过程中,我们得到一个向量和无限集这样。
自,以限制两岸的方程,我们有 因此,。也就是说,
如果通过定理3.1,结果是正确的。因此,我们假设的一些组件是。重新排序,,让与为和为,。因此,从关系(3.13),我们发现存在这样 因为,足够大和,。让 显然,一个 也就是说, 由定理3.1,我们推导出的结果。

4所示。数值

数值是在向量优化最重要的一个过程。在本节中,我们应用一个广义非线性数值函数引入了埃尔南德斯和Rodriguez-Marin [18),讨论了弱锋利的最小值集值优化问题。

让是一个适当的闭凸锥和。让是一个固定的点。

定义4.1(见[18])。广义非线性数值函数被定义为 一套非空的据说是适当的如果。

接下来,我们提出关于广义非线性数值函数的几个性质。

引理4.2(见[18])。 是正确的,当且仅当。

引理4.3(见[16])。让和是一个非空的子集。然后,

引理4.4(见[18])。让和。如果,然后。

给出了集值映射和。定义通过

现在,我们考虑弱锋利的集值映射的局部最小值通过弱锋利的数值函数的局部最小值。

定理4.5。让和。假设中定义的(2.6)是一个闭集。然后,

证明。“只有”部分:假设,存在和这样 自是一个开放的, 注意,当是一个闭集, 因此, 由引理4.3,我们有 另一方面,的引理4.4,我们得到 这个关系,加上(4.9),收益率 也就是说, 也就是说,。
“如果”部分:假设,存在和这样 自,通过应用引理4.4,我们得到。因此,我们有 再一次利用引理4.3,一个 此外, 这意味着 自,有一个数字这样。此外, 因此,从(4.18),我们得到 与此相结合的关系(4.17),我们推断出 通过弱的定义锋利的局部最小值,我们有。

在定理4.5,如果地图是一个向量值函数和函数成为非线性数值函数我们很容易得到以下结果,定理3.4 (13]。

推论4.6。让,,。然后,

确认

这项研究部分由黑龙江教育部科学技术研究项目(批准号:12521457)和中国国家自然科学基金(没有。11071267)。