文摘

我们证明的强收敛定理寻找一个共同的元素的集合nonspreading映射的不动点T和解决方案集的最大单调映射和一个零α逆强烈单调映射在希尔伯特空间。Manaka和高桥(2011)证明了弱收敛定理与nonspreading极大单调算子在希尔伯特空间的映射;我们推出了新的迭代算法和有一些强大的最大单调收敛定理运营商nonspreading希尔伯特空间的映射。

1。介绍

让是一个真正的希尔伯特空间内积,让是一个非空的闭凸子集。我们表示不动点的集合。然后,一个映射据说是扩张如果对所有。映射据说是坚定地扩张如果对所有;见,例如,布劳德(1)和Goebel柯克(2]。映射据说是坚决nonspreading [3如果 对所有。Iemoto和高桥4)证明是nonspreading当且仅当吗 对所有。不难知道nonspreading映射推导出从一个坚定地扩张映射的映射;参见[5,6),和一个坚定地扩张映射是一个扩张映射的映射。

许多研究已经完成结构扩张映射的不动点。1953年,曼7]介绍了迭代如下:一个序列定义为 在最初的猜测是任意的,是一个真正的序列。众所周知,在适当的设置,序列弱收敛于一个固定的角度。然而,即使在希尔伯特空间,曼迭代可能无法收敛,例如[8]。

一些试图构建迭代法保证强大的融合。例如,Halpern [9)提出以下所谓Halpern迭代: 在哪里是任意的,是一个真正的序列满足,和。然后,强烈收敛到一个固定的点;参见[9,10]。

1975年,Baillon [11首次引入非线性遍历定理在希尔伯特空间如下: 弱收敛于一个固定的角度对于一些。

最近,在什么时候是一个扩张映射的映射,是一个逆强烈单调映射和是一个极大单调算子,高桥et al。12)被证明是一个寻找一个点的强收敛定理,在那里是固定的集合点的和零分的组吗。

2011年,Manaka和高桥(13寻找一个固定的集合点0点的集合在希尔伯特空间,他们介绍了迭代计划如下: 在哪里是一个nonspreading映射,是一个逆强烈单调映射和是一个极大单调算子等;和是序列满足和。然后他们证明收敛弱一点。

出于以上作者,我们概括和修改迭代算法(1.5)和(1.6)寻找的一个共同的元素组nonspreading映射的不动点和零单调算子的点的集合(是一个逆强烈单调映射和是一个极大单调算子)。首先,我们证明我们的迭代法是生成的序列属性条件下的弱收敛。然后,我们证明了在希尔伯特空间的强收敛。正如所料,我们获得一些弱和强收敛定理的共同要素的集合nonspreading映射不动点和零分的逆强烈单调映射和希尔伯特空间的极大单调算子。

2。预赛

让是一个真正的希尔伯特空间内积,让是一个非空的闭凸子集。一个集值映射据说如果任何单调和和,它认为,

一个单调算子在据说如果最大没有单调的扩展,它的图形不正确地包含在其他任何单调算子的图像。为一个极大单调算子在和,我们可以定义一个单值算子的溶剂为。让是一个极大单调算子,让。为一个常数,映射据说是一个逆强烈单调,如果任何,

2.1的话。不难知道,如果是一个逆强烈单调映射,那么Lipschitzian因此均匀连续的。显然,单调映射的类包括类的逆强烈单调映射。

2.2的话。众所周知,如果是一个扩张映射的映射,那么是逆强烈单调,标识映射在吗;见,例如,(14]。众所周知,消散的坚定地扩张和对所有。
对于一个单值映射,一个点被称为定点的如果。多值映射,一个点被称为定点的如果。固定的点的集合用。
让是一个真正一致凸的巴拿赫空间,是一个非空的闭凸子集。多值映射据说是如下。(我)收缩,如果存在一个常数这样 (2)扩张,如果 (3)Quasinonexpansive如果和
众所周知,每一个扩张映射多值映射与是多值quasinonexpansive。但存在多值quasi-nonexpansive映射并不多值扩张。显然,如果是一个quasi-nonexpansive多值映射,然后呢是关闭的。
巴拿赫空间据说如果只要满足产生条件是一个序列这是收敛的弱,然后

引理2.3 (Manaka和高桥13])。让是一个真正的希尔伯特空间,让是一个非空的闭凸子集。让。让是一个逆强烈单调映射的成,让是一个极大单调算子这样的领域包含在。让的溶剂对于任何。然后,下面(我)如果,然后;(2)对于任何,当且仅当。

引理2.4 (Schu [15])。假设是一致凸巴拿赫空间和对所有正整数。还假设和两个序列的这样,,坚持一些。然后,。

引理2.5(刘16和徐17])。让是一个非负实数序列满足属性如下 在哪里,,满足以下限制(我) ,(2) ,(3) 。
然后,收敛于零。

3所示。强收敛定理

在本节中,我们证明了强收敛定理寻找一套共同的元素共同固定套nonspreading映射和解决方案集的极大单调算子和零逆强单调算子和希尔伯特空间。

定理3.1。让是一个非空的一个真正的希尔伯特空间的闭凸子集,让是一个逆强烈单调,让最大单调,让的溶剂对于任何,让是一个nonspreading映射。假设。我们定义 在哪里序列在这样。存在这样为每一个。然后,强烈收敛,规的投影吗到。

证明。首先,我们证明是有界的,对于每一个存在。事实上,从引理2.3,我们有在一起(3所示。1),是一个逆强烈单调,我们得到
定义的和nonspreading映射,我们获得了吗
在一起(3所示。1),我们有
因此,我们得到 对所有。这意味着是有界的,所以是有界的。从nonspreading, (3所示。3)和(3所示。2),我们得到,,都是有界的。
自是有界的,存在一个子序列的这样的存在。自是有界的,存在一个子序列的这样作为。现在,我们证明。首先,我们证明。自,替换通过,我们有。在一起和是有界的,我们获得了吗,我们有。
让。自nonspreading,我们有吗和,
总结这些不平等来和除以,我们有
替换通过,我们有
自和是有界的,我们有吗 作为。把,我们有
因此,。
接下来,我们证明。从(3所示。2)和(3所示。3),我们有
我们重写上述不等式如下:
替换通过,我们有
在一起,由于存在,我们获得
自坚定地扩张,从(3所示。2),我们有
这意味着
在一起(3所示。1)和(3所示。3),我们有
因此,我们有
替换通过,我们有
自存在,(3.14),,我们获得
自李普希兹连续,我们也获得吗
的定义和(3所示。1),我们有
自是单调的,所以呢我们有, 因此
替换通过我们有,
自是一个逆强烈单调,我们有 这意味着作为。从(3.20),,我们得到在一起(3.25),我们有
自是最大的单调,所以呢。也就是说,。
现在,我们证明作为。不失一般性,我们可以假设存在一个子序列的这样
自规的投影吗到和,我们有
这意味着
从(2.1),(3所示。1)和(3所示。3),我们有
从引理2.5和(3.30),我们有
这意味着作为。