文摘

我们研究的完整一致性估计的非参数回归模型的基础上混合序列通过使用古典Rosenthal-type不平等和截断的方法。作为一个应用程序,完整的最近邻估计量的一致性。

1。介绍

考虑下面的固定设计非参数回归模型: 在哪里已知固定设计分,在那里一些给定的紧凑集吗,是一个未知的回归函数上定义,是随机误差。假设为每个,有相同的分布。的估计量下面的加权回归估计量将被认为是: 在哪里,权函数。

上述估计被吉奥吉夫(首次提出1),随后被许多作者研究。例如,当被认为是独立的,研究了一致性和渐近正态由吉奥吉夫和Greblicki [2],吉奥吉夫[3和穆勒4)等等。结果时的情况依赖也一直在研究各种作者近年来。风扇(5)扩展吉奥吉夫的工作(3和穆勒4)的估计回归模型的形式-mixingale序列对一些。Roussas [6]讨论了强一致性和二次平均一致性在搅拌的条件下。Roussas et al。7)建立了渐近的常态假设错误从严格的平稳随机过程和满足强烈的混合状态。Tran et al。8]讨论了渐近正态性形成一个线性时间序列假设错误,更准确地说,一个弱平稳线性过程基于鞅差序列。胡锦涛et al。(9]研究了渐近正常双线性时间序列数组之和。胡锦涛et al。(10)给平均一致性,完整的一致性和渐近正态性与线性回归模型过程的错误。梁和精11)提出了一些非参数回归模型的估计渐近性质基于负相关序列,杨et al。12梁)广义的结果和精11)序列相关的负面消极的情况下象限依赖序列,等等。本节的主要目的是调查的完整一致性估计的非参数回归模型的基础上混合随机变量。

在下面,我们将提供一系列的定义混合随机变量。

让是一个随机变量序列上定义一个固定的概率空间。写。鉴于代数在,让 定义混合系数的 很明显,,。

定义1.1。一个序列的随机变量据说是一个如果存在混合序列这样。

介绍了混合随机变量由布拉德利(13),发现了许多应用程序。许多作者研究这一概念提供了有趣的结果和应用程序。例如,布拉德利(13中心极限定理),Bryc和Smoleński14],Peligrad [15],和Utev Peligrad [16]时刻不平等,氮化镓(17],Kuczmaszewska [18),吴和江19王,et al。20.几乎收敛,Peligrad和肠道21甘],[17),Cai (22],Kuczmaszewska [23朱],[24),和人民币(25,唱26和王et al。27完全收敛,Peligrad [15)不变性原理、周等。28和唱29日强大数定律),等等。当这些与相应的独立随机变量序列的结果,仍有很多不足之处。

这项工作是有组织的如下:论文的主要结果是提供的部分2。提出了一些初步的前题3,并给出主要结果的证明4。

在整个论文,表示积极的常数没有根据在不同的地方,这可能是不同的。代表对所有。让表示的整数部分,让的指标函数集。表示和。

2。主要结果

除非另有规定,我们假设整个论文被定义为(1.2)。对于任何函数,我们使用表示所有点函数的连续性在。一种常态是欧几里得范数。对于任何固定的设计点在权函数,下面的假设将使用: ) 作为;( ) 对所有;( ) 作为对所有。

基于以上假设,我们可以得到下列完整的非参数回归估计量的一致性。

定理2.1。让是一个序列混合随机变量均值为零,这是随机由一个随机变量。假设条件下- - - - - -适用。如果存在一些这样和 然后

作为一个定理的应用2。1,给出了完整的最近邻估计量的一致性。不失一般性,,以,。对于任何我们重写如下: 如果,然后前排列当。

让的最近邻权函数估计量在模型(1.1)定义如下: 在哪里

基于上面的符号,利用定理我们可以得到以下结果2。1。

推论2.2。让是一个序列混合随机变量均值为零,这是随机由一个随机变量。假设在紧集是连续的吗。如果存在一些这样和,然后

3所示。预赛

在本节中,我们将介绍一些重要的前题,将被用来证明论文的主要结果。第一个是Rosenthal-type不等式,证明了Utev和Peligrad16]。

引理3.1。让是一个混合随机变量序列,,对于一些每。那么存在一个正的常数C只依赖这样

随机控制的概念将用于这项工作。

定义3.2。一个序列随机变量的随机由一个随机变量如果存在一个正的常数这样 对所有和。

引理3.3。让是一个随机变量序列是随机由一个随机变量。对于任何和,以下两个语句: 在哪里和都是正的常数。

4所示。证明的主要结果

定理的证明2。1。为和,我们有(1.1)和(1.2), 自,因此对于任何,存在一个这样当。因此,通过设置在(4.1),我们可以得到 通过条件()- ()的任意性,我们可以得到 固定设计点,请注意不失一般性,我们假设在下面。
的条件(2。1),我们假设 由(4.3),我们可以看到,为了证明(2。2),我们只需要证明 也就是说,它可以显示, 固定,表示 很容易对任何检查, 这意味着 因此,为了证明(4.6),它就可以证明和。
通过条件(),,我们可以得到 这意味着。
接下来,我们将证明。首先,我们将显示 实际上,由条件,引理3.3,(4.4),,我们可以看到这一点 这意味着(4.11)。因此,为了证明,我们只需要证明, 马尔可夫不等式,引理3.1,的不平等,詹森不等式,我们有那 取 这意味着和。通过不平等和引理3.3,我们可以得到 如果,然后通过马尔可夫不等式,和(4.4), 如果,然后通过马尔可夫不等式,和(4.4再次, 从(4.14)- (4.18),我们已经证明。
通过不平等和引理3.3,我们可以看到这一点 已经证明(4.10)。在接下来,我们将展示。表示 它很容易看到为和对所有。因此, 它很容易看到, 这意味着对于所有, 因此, 因此,不平等(4.13从()之前4.14)- (4.19),(4.21)和(4.24)。这就完成了这个定理的证明。

推论的证明2。2。只要证明定理的条件2。1感到满意。自在紧集是连续的吗,因此,在紧集是均匀连续的吗,这意味着在有界集。
对于任何,如果遵循的定义和那 因此,条件()- ()和(2。1)感到满意。由定理2。1我们可以(2。6立即)。这就完成了推论的证明。

确认

本文由中国国家自然科学基金(11201001,11201001,11126176),安徽省自然科学基金(1208085 qa03),安徽大学博士科研启动基金项目,安徽大学的学术创新团队(KJTD001B),安徽大学大学生科研训练计划(KYXL2012007),安徽大学和学生创新训练项目(cxcy2012003)。作者最感激编辑Ciprian a·都铎和匿名裁判的仔细阅读论文和有价值的建议,有助于显著提高本文的早期版本。