文摘

本文的重点是之间的关系l-posets和完整l格的分类视图。通过考虑一个特殊类模糊闭包算子,我们证明完成的范畴l格是一个反射全部类别的子类别l-posets与适当的射。此外,我们描述的Dedekind-MacNeille完成l-posets并为他们提供一个等价的描述。

1。介绍

模糊顺序的文学起源于德(1),后来被广泛研究。一个模糊有序集(一个 偏序集)是模糊有序结构的基本思想。有些人从模糊集理论等研究2- - - - - -8),和其他人认为它作为一个类别(见[9- - - - - -11])。所有这些作品丰富了模糊订单和模糊有序结构的理论。目前,我们正在考虑模糊命令集框架作为对象的类别。我们都知道,研究范畴 可以反映在其反射满子范畴的结构比 。寻找这样的分类提供了一种新的方法来研究主要类别。

近年来,完成理论模糊命令集吸引了太多的关注。瓦格纳(9]介绍了一个类别丰富Dedekind-MacNeille完成浓缩在一个交换unital quantale。B lohlavek [12]介绍了Dedekind-MacNeille完成的 摘要应用程序设置为在模糊概念格理论的设置。谢et al。13)建造和Dedekind-MacNeille完成的特点 -posets。在[14王),和赵join-completions提议 摘要集和调查他们的特征。结果表明,在双射对应每个join-completion一致的模糊闭包算子 ,它有一个普遍的属性有关 同态。它还提到的类别之间的关系 -posets和完整 格将会在未来关注的。这个问题是适当的射选择密切相关。如何当 同态赋予在 选择-posets和fuzzy-join-preserving映射完成 格吗?这是我们第一次的动机。分析后,我们发现,后者是一个反射的完整子类别前对一类特殊的模糊闭包运算符,而不是任何一个(给出一个反例)。的特殊类模糊闭包算子挑出。此外,当完成一个通用属性,我们可以声明它是join-completion。但是有很多join-completions,因此是哪种类型?这是本文的另一个动机。我们证明正是Dedekind-MacNeille完成同构。

本文组织如下。节2,我们列举一些基本定义和著名的模糊秩序理论的结果。节3,我们将讨论之间的关系 同态和fuzzy-join-preserving映射然后挑出一个特殊的类的模糊闭包算子,这样完整的范畴 格是一个反射全部类别的子类别 -posets。节4我们描述Dedekind-MacNeille完成 -posets和给一个等价的描述。节5,我们总结所有的内容和得出结论。

2。预赛

一个完整residuated晶格(15)是一种结构 这样(1) 最大的是一个完整的格子元素最少1和0;(2) 是一个交换独异点与身份1, 是等渗性参数;(3) 是一个伴随对,也就是说, 当且仅当 对所有 。通常,我们使用缩写词 通过 简单。完成residuated格在这里收集的一些基本性质([15- - - - - -17])。(1) ;(2) 当且仅当 ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) , ;(8) , ;(9) ;(10) , ;(11) ;(12) 。

在这篇文章中, 总是代表一个完整的residuated晶格,除非另有说明,和 表示的集合 一个非空的集的子集 。对所有 ,我们定义 然后 也是一个完整的residuated晶格。如果没有出现混乱,我们永远不歧视恒定值函数 与 例如, 和 对于每一个 。

模糊顺序被首次引入德(1),从那时起,不同类型的模糊顺序进行了介绍,并研究了不同作者(读者被称为[3,6,9,11,18- - - - - -20.]详情)。在本文中,我们采用模糊的定义顺序介绍了风扇和张3,6]。

定义2.1。一个 部分订单 (也称为一个 顺序) 是一个 关系满足:(1) , ;(2) , ;(3) , 。

然后 被称为一个 部分有序集合或一个 偏序集的简单性。

值得注意的是,B lohlavek定义另一个模糊顺序(12,16),显示被姚(相当于上面的定义5]。

有一些重要的 -posets提到的许多论文,如(3,4,19,21]。例如,在一个 偏序集 ,定义 对所有 ,然后 也是一个 偏序集。在一个完整的residuated晶格 ,定义 通过 对所有 ,然后 是一个 偏序集。对所有 ,定义 ,然后 是一个 偏序集。

在下面,一些基本的和非常重要的定义和相关理论结果 偏序集列出。读者被称为(2- - - - - -9,11- - - - - -13,20.详情)。

定义2.2。让 是一个 偏序集, , 。 被称为模糊加入(分别地。、模糊满足) 用 (职责。 )如果(1) , (职责。 ;(2) , 分别地, 。

很容易看到,模糊加入或模糊的独特之处在于一个见面 偏序集 如果它存在, (职责。 )当且仅当 (职责。 )为所有 。如果 和 存在于所有 ,然后 据说是一个完整的吗 晶格。

在一个 偏序集 ,对于任何 ,我们通常定义 作为 为每一个 并会定义 。对于任何 ,它被称为一个 -减少设置如果 对所有 ,或者一个 上设置如果 对所有 。当 是一个 -减少集,我们有 , 当 是一个 上设置。

对于每一个地图 从一组 到一个 偏序集 ,存在 向前powerset运营商 定义为 对所有 和一个 向后powerset运营商 定义为 为每一个 。

定义2.3。让 是 -posets和 是一个地图。然后(1) 据说是 保序或 单调,如果 对所有 ;(2) 是一个 -order-embedding如果 对所有 ;(3) 据说如果任何fuzzy-join-preserving 这样 存在,这意味着 存在, ;(4) 据说如果任何fuzzy-meet-preserving 这样 存在,这意味着 存在, 。

定义2.4。让 , 是 -posets, , 是 保序的地图。如果 对所有 ,然后 被称为模糊伽罗瓦连接 和 。 被称为左伴随 ,并会 伴随的是正确的吗 。

值得注意的是,对于任何地图 ,有一个有用的模糊伽罗瓦连接 之间的 和 。

定理2.5。让 是 -posets, ,让 是地图。(1)如果 是完整的,那么 是 保序,伴随当且仅当 为每一个 ;(2)如果 是完整的,那么 是 保序,伴随当且仅当 为每一个 。

定义2.6。让 是一个 偏序集, 一个完整的 晶格。如果存在一个 -order-embedding ,然后 据说是一个完成的 通过 。此外,如果 join-dense在 (参见[13),然后我们说 是join-completion 通过 。

对于一个 偏序集 和 ,那么我们就有 叫做上界和下界的 ,分别。 定义 和 。那么两个 和 是join-completions 分别通过 -order-embedding 给出的 和 -order-embedding 给出的 (读者被称为[13]详情)。他们被称为Dedekind-MacNeille完成 。

3所示。反射的子分类 -Posets

本节的目的是研究之间的关系 -posets和完整 格范畴而言,这是密切相关的通用属性join-completions由模糊闭包算子。我们指的是(22一般范畴论。

定义3.1。一个子类 一个类别的 据说是反射在吗 如果为每个 对象 存在一个 对象 和一个 射 这样,每 射 存在一个唯一 射 与 。

假设读者熟悉的概念模糊闭包算子和模糊闭包系统。如果 是一个模糊闭包算子 ,然后有一个关联的模糊闭包系统 反之亦然(参见[12,23]详情)。

定义3.2(见[14])。让 是一个 偏序集。一个模糊闭包算子 在 被称为模糊闭包算子是否一致 。

如文献所示(14],join-completions与一致的双射对应模糊闭包算子。

定义3.3(见[14])。让 , 是 -posets和 一个一致的模糊闭包算子 。一个映射 被称为 同态如果所有 , 。

定理3.4(见[14])。让 是一个 偏序集, 一个一致的模糊闭包算子 , 一个完成的 通过 。然后,以下是等价的:(1) 是join-completion 通过 ;(2) 是一个 同态。此外,对于每一个完成 晶格 和每个 同态 ,存在一个唯一fuzzy-join-preserving映射 这样 。

考虑到定理3.4,我们想知道是否完整的范畴 与fuzzy-join-preserving映射,晶格的象征 一口,反射完全子类对象的类别 -posets和箭头 同态与一致的模糊闭包算子 ,这是用 pos 。事实上,答案是正对一些特殊模糊闭包算子相一致。但作为例子3.5,当 ,存在一些 同态在完成 格但不是fuzzy-join-preserving。所以 吃晚饭并不是一个完整的子类别 pos 。顺序,它不是一个反光的子类 pos 既不。

例3.5。让 与 , 和 与 ,然后 和 完成 格, 。定义 作为 , 。它很容易检查 是一个 同态,但它不是fuzzy-join-preserving。

续集,我们试着寻找那些特殊模糊闭包算子 为了给一些反光的全部类别的子类别 -posets。

定义3.6。让 是一个 偏序集和 一个模糊闭包算子 。然后, 被称为一个基本模糊闭包算子如果 对所有 与 的存在。

注意一个基本模糊闭包算子也是一致的模糊闭包算子,不是亦然。下列命题显示“基本”是一个等价的充要条件 同态和fuzzy-join-preserving映射完成 晶格。

命题3.7。让 , 是完整的 格,让 的映射 来 , 是一个一致的模糊闭包算子 。然后(1)假设 是至关重要的,我们有什么 是一个 同态当且仅当它是fuzzy-join-preserving;(2)假设 是一个 同态当且仅当它是fuzzy-join-preserving,那么 是至关重要的。

证明。(1)假设 是至关重要的。如果 是一个 同态,然后 是 保序的引理4.3 (14]。对于任何 ,很明显 。另一个方向,让 ,然后 。由引理2.19 (1)(8),我们有 ,所以 。的假设, 所以 。这意味着 。因此 ,也就是说, 。因此, 和 fuzzy-join-preserving。相反,如果 fuzzy-join-preserving。然后对任何 ,很容易检查 在第一位。此外, 因此, 自 是至关重要的。因此 ,它意味着 是一个 同态。
(2)如果 是不重要的,然后呢 同态 ,我们有 ,在那里 为 。所示的证明(1),我们可以看到 。它引发 ,所以 。然后 不能fuzzy-join-preserving,矛盾与前提。因此 是至关重要的。

推论3.8。(1)如果 是一个重要的模糊闭包算子,然后呢 吃晚饭是一个完整的子类别 pos ( )。
(2)如果 吃晚饭是一个完整的子类别POS ( )与一致的模糊闭包算子,然后 是至关重要的。

命题3.9。让 是一个 偏序集和 一个重要的模糊闭包算子 。那么存在一个join-completion 的 通过一个 同态 。此外,对于每一个完成 晶格 和 同态 存在一个独特fuzzy-join-preserving映射 这样的通勤时间,下图:xy(3.2)

证明。自 是一个重要的模糊闭包算子,然后呢 是一个一致的模糊闭包算子。由文献[14),我们可以看到 是join-completion 通过 同态 。因此结果是立即从定理3.4。

定理3.10。(1)如果 是一个重要的模糊闭包算子,然后呢 吃晚饭是反光的子类 pos ( )。
(2)如果 吃晚饭是反光的子类 pos ( )与一致的模糊闭包算子,然后 是至关重要的。

证明。它遵循的推论3.8和主张3.9。

3.11的话。对于一个 偏序集 ,让 。由引理 在[13),我们可以看到 。所以 是一个重要的模糊闭包算子,及其相关的完成完全Dedekind-MacNeille完成吗 通过 同态 (它被称为lower-continuous映射部分4)。因此 吃晚饭是反光的子类 pos ( )。

很容易看到 可以被视为 。的二元性 秩序,当双映射 同态选择作为射 -posets,相应的射上完成 格需要改变fuzzy-meet-preserving映射。然后立即获得双重的结果。我们在以下列出它,把读者的证据。

定义3.12。让 是 -posets, 一个映射。然后 据说upper-continuous如果 对所有 。

让 负表示完整的范畴 格与fuzzy-meet-preserving映射, pos表示对象的类别都是 -posets和箭upper-continuous映射。

定理3.13。 负反射的子类 pos。

4所示。Dedekind-MacNeille完工量的特征 -Posets

从之前的作品,我们已经知道的 偏序集,每个join-completion都有一个普遍的财产,任何与通用属性必须join-completion完成。在本节中,我们研究一种特殊的特征join-completion——Dedekind-MacNeille完成,获得一个更强的,一个完整的结果 晶格与通用属性正是Dedekind-MacNeille完成同构。

定义4.1。让 是 -posets, 一个映射, 。然后 据说lower-continuous如果 对所有 。

定理4.2。让 是 -posets,让 是一个lower-continuous映射。那么存在一个唯一fuzzy-join-preserving映射 这样的通勤时间,下图:xy(4.1)

证明。首先,定义 通过 ,那么我们显示 有一个正确的伴随。事实上,定义 通过 。然后对任何 , ,它意味着 形成一个模糊的伽罗瓦连接。由定理2.5, fuzzy-join-preserving。
接下来,表明图通勤显示 对于每一个 。很明显, 自 是 保序。在另一个方向,因为 是一个 -减少,所以对于任何 ,我们有 。这意味着 ,也就是说, 。因此 ,如需要。
最后,我们表明, 是独一无二的。假设还有一个fuzzy-join-preserving映射 满足图通勤;我们表明, 对所有 。自 join-dense在 ,这就可以证明 对所有 。这是明显的自图通勤。

推论4.3。让 是一个lower-continuous映射的 偏序集 成一个完整的 晶格 。那么存在一个唯一fuzzy-join-preserving映射 这样的通勤时间,下图:xy(4.2)

证明。由定理4.2存在一个交换图如下,和映射 是一个 -order-isomorphism自 是一个完整的 晶格。让 ,然后 是一个独特的通勤路程fuzzy-join-preserving映射,如下图:xy(4.3)

推论4.4。Dedekind-MacNeille完成操作 是协变函子的 pos ( ) 吃晚饭。

推论4.5。在类别 吃晚饭, 免费对象生成的一个吗 偏序集 。

定理4.6。让 是一个 偏序集和 一个完整的 晶格。然后 同构Dedekind-MacNeille完成吗 当且仅当它满足以下条件。
存在一个lower-continuous映射 例如对于每个lower-continuous映射 的 成一个完整的 晶格 ,存在一个唯一fuzzy-join-preserving映射 这样的通勤时间,下图:xy(4.4)

证明。假设 是同构的 ,那么存在一个 -order-isomorphism 。我们定义 作为 ,那么很容易检查 是一个lower-continuous映射。如果 是lower-continuous映射 成完整的 晶格 。的必然结果4.3,存在一个唯一fuzzy-join-preserving映射 这样 。让 ,然后 是一个独特的fuzzy-join-preserving映射,这样吗 。
第二部分,假设条件成立。的必然结果4.3下面的图通勤:xy(4.5)
暗金物品的状态, 和 。因此 是同构的 。

自 可以被视为 ,当我们取代lower-continuous upper-continuous映射的映射和fuzzy-join-preserving fuzzy-meet-preserving映射的映射,然后定理的对偶结果4.2和推论4.3自然了。按顺序,立即以下观察,证明是无关紧要的,所以我们忽略他们。

命题4.7。(1)Dedekind-MacNeille完成操作 是协变函子的 pos机, 负无穷。
(2)类别 负无穷, 免费对象生成的一个吗 偏序集 。

定理4.8。让 是一个 偏序集和 一个完整的 晶格。然后 同构Dedekind-MacNeille完成吗 当且仅当它满足以下条件。
存在一个upper-continuous映射 例如对于每个upper-continuous映射 的 成一个完整的 晶格 ,存在一个唯一fuzzy-meet-preserving映射 这样的通勤时间,下图:xy(4.6)

5。结论

在本文中,我们考虑之间的关系 -posets和完整 格的分类框架。join-completions特征的分析之后,我们证明完成的范畴 格与fuzzy-join-preserving映射是一个反射全部类别的子类别 -posets与 同态与一个基本模糊闭包算子。此外,我们描述Dedekind-MacNeille完成。表明他们是独特的自由(同构)生成的一个对象 偏序集的类别中完成 晶格。它提供了一个等价的描述。也许我们将继续专注于完成理论模糊命令集,我们将尝试提出和其他完成的特点 在未来-posets。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(授予号。11071061,11101135),国家基础研究项目(没有。2011 cb311808),湖南省为研究生(没有创新的基础。CX2011B158)。