文摘

通过使用tanh-coth方法,我们获得了一些行波解的两个著名的非线性水列夫类型的偏微分方程,即Benney-Luke方程和高阶改进的布西涅斯克方程。我们表明,tanh-coth方法是有用的,可靠的,和简洁的方法来解决这些类型的方程。

1。介绍

中使用的术语“水列夫公式”是俄国文学是指任何方程空间衍生品的最高订单时间导数(1]。换句话说,他们的特点是具有时间和空间混合衍生品出现在最高位的方程,研究了水列夫(2]。水列夫类型的方程描述许多物理现象(3- - - - - -7]。近年来大量研究已经注意水列夫类型的方程。更多细节我们参考读者8)和引用。

Benney-Luke方程如下: 在哪里和是正数,这样是一种水列夫方程并研究了很长一段时间。无量纲参数叫邦德数,捕捉表面张力和重力的影响,是一个正式的有效近似描述波传播双向水表面张力的存在(9]。在[10]Pego Quintero研究长水波的传播和小振幅。他们发现,在表面张力的存在,这种波的传播是由(1。1),最初由Benney派生和卢克(11]。有许多研究关于这个方程。其中稳定性分析(9,12],柯西问题[13- - - - - -15),存在性和分析性的解决方案(16),和行波解17可以提到)。

在[18],施耐德和韦恩表明在长波极限下水波问题没有表面张力可以通过两个解耦KdV方程近似描述。他们认为一个类的布西涅斯克方程模型表面张力的水波问题如下: 在哪里和。Duruk等人调查了posedness柯西问题 ,表明在一定条件下构成的柯西问题是全球范围内(19]。然而,几种类型的改进的布西涅斯克方程被许多研究人员调查,发现确切的解决方案通过使用exp-function方法(20.),修改扩展tanh-function方法(21],正弦余弦方法[22),提高G / G-expansion方法(22),标准的双曲正切和扩展的双曲正切法(23),等等。

tanh-coth是一个强大的和可靠的技术寻找精确行波解非线性方程。这种方法被广泛使用,它受到了一些修改使用黎卡提微分方程。tanh-coth主要特征的方法将在后续章节中概述,这个方法将被应用到Benney-Luke和高阶改进布西涅斯克方程。这项工作的主要目的是获取上述方程的行波解,表明tanh-coth方法可以很容易地应用于水列夫类型方程。在整个工作中,枫树是用来处理繁琐的代数操作。

2。Tanh-Coth方法的轮廓

Wazwaz已经总结了双曲正切方法以以下方式。(我)首先考虑非线性方程的一般形式 (2)找到的行波解(2。1),波变量介绍,这样吗 在此基础上可以使用以下变化: 为其他衍生品等等。使用(2。3)改变了PDE (2。1)的颂歌如下: (3)如果所有的颂歌包含衍生品,然后通过积分方程和考虑到积分常数为零,一个获得一个简化的颂歌。(iv)一个新的独立的变量 介绍了导致衍生品的变化: 其他衍生品可以用类似的方式。(v)拟设的形式 介绍了在哪里在大多数情况下是一个正整数,将决定。如果不是一个整数,那么转换公式是用来克服这个困难。用(2。6)和(2。7)》,(2。4)收益率方程的权力。(vi)确定的参数最高,线性顺序得到的方程具有最高阶非线性项是平衡的。与确定,一个收集的所有系数的权力由此产生的方程中这些系数必须消失。这将涉及的代数方程组和,(),,。在确定这些参数,知道是一个正整数在大多数情况下,使用(2。7)获得一个封闭形式的解析解。

3所示。Benney-Luke方程

Benney-Luke方程可以写成 在哪里和是正数,这样(叫邦德数)。为了解决(3所示。1tanh-coth)的方法,我们使用波变换波变量;(3所示。1)在常微分方程的形式如下: 平衡的顺序的订单在(3所示。2)我们发现。使用的假设tanh-coth方法(2。5)- (2。7)的形式给出了解决方案 用(3所示。3)(3所示。2),我们得到的代数方程组,,,在以下形式: 从枫的输出包我们发现三组的解决方案: 在哪里作为一个自由参数。行波的解决方案如下:

4所示。高阶改进布西涅斯克方程

我们考虑高阶改进布西涅斯克方程如下: 在哪里和是真正任意非零常数。

利用波的转换波变量然后通过集成这个方程,考虑到积分常数为零,得到ODE如下: 平衡第一项和最后一项(4所示。2)我们发现。使用的假设tanh-coth方法(2。5)- (2。7)的形式给出了解决方案 用(4所示。3)(4所示。2),我们得到的代数方程组,在以下形式: 使用枫给6套解决方案: 行波的解决方案如下: