文摘

让 是一个度量空间, 一个连续的地图, 非空的模糊的空间紧凑的子集 分离度规,可以研究的动态属性德的扩展 。在本文中,我们提出,应对问题Roman-Flores和Chalco-Cano提出的2008年,一些混乱的关系 和 。更具体地说,我们研究传递性,弱混合,周期性的密度在系统 相同的,其连接的fuzzified系统。

1。介绍

在本文,我们 是一个紧凑和公制度量空间 ,让 是连续的。一个离散动力系统是一对 。对于其他概念和符号在本节中提到的,我们将部分2。离散动力系统理论的主要目的是了解个人的动态状态空间(点) 。然而,在许多情况下,比如生物物种和迁移现象,它并不足以知道点移动,但是有必要知道的子集 移动,这是所谓的集体动力学。当研究个体成员的混沌动力学在一定的生态系统,自然出现的问题就是个人混乱和集体之间的关系混乱。

出于这个问题,研究集值离散系统最近变得活跃(1- - - - - -6]。此外,当可用的数据是不确定的,模糊系统应考虑: 在哪里 度量空间上连续的地图吗 和 德的扩展吗 来 ,类的所有非空的紧凑的模糊子集 。因此,这里的基本问题是分析之间的关系 和 :什么时候chaoticity 暗示的chaoticity 吗?反之呢?

部分反应这个问题,提出了元混乱,Roman-Flores和Chalco-Cano7调查相关的离散模糊动态系统 给出的 ,然后获得以下结果: 传递 传递, 传递 传递, 敏感的 敏感, 有周期性的密度 有周期性的密度。

此外,通过分析相关fuzzified动力系统之间的联系,作者指出,这种调查应该是有用的在许多实际问题,如生态建模和统计科学。最近的一些工作沿着这些线路出现,例如,我们指的是(8,9),在不同的动态特性。在[8],Kupka显示的动态行为集值和模糊扩展原始系统的相互继承了一些全球的特征。特别是,作者证明存在一个过渡空间的模糊性正常的模糊集,其中包含部分解决问题的解决方案(7]。具体来说,作者认为符号动力系统与原系统,然后表明枝的扩展地图是过渡的转变。至于周期性密度、分段常数引入模糊集的概念在8),然后密度等效 和 提出了。Kupka一起提出了一个完整的解决方案已经建立的开放问题[7]。

在这篇文章中,除非另有说明混沌映射总是Devaney混乱。我们研究之间的关系 和 和其他动力概念描述混乱。虽然在[问题已经完全解决了8),我们提出一些不同的方法来解决这个问题。后(8,10)和引用,模糊集的空间不承认一个传递模糊化,因此它不能被混合,弱混合,等等。因此,它是有意义的考虑正常的模糊集的空间 。我们在情况说明 是弱混合, 是混乱的, 是混乱的。相反方向的问题上面提到的,我们证明,在一定条件下, 混乱的暗示 混乱。此外,我们还证明完全传递茂密的小周期设置弱混合地图。

下面的部分2给一些已知的定义和符号。节3和部分4并给出了主要结果。我们在文章结尾给出了一些讨论部分5。

2。预赛

在本节中,我们完整的符号和回忆一些已知的定义。让 类的所有非空的和紧凑的子集 。如果 我们定义的 附近的 作为一组 在哪里 。

豪斯多夫分离 的 被定义为

的分离度规 被定义为让

定义 所有上半连续模糊集的类 这样 ,在那里 轻易进行和支持的 是由 分别。

此外,让 表示所有的空间正常的模糊集在 和 表示空的模糊集( 对所有 )。

一个levelwise规 在 被定义为 对所有 ,在那里 。众所周知,如果 是完整的,那么 也是完成但不紧凑,不是分离(见[9,11,12])。

我们说 是传递如果由于任何一对非空的开集 和 存在 这样 ; 是完全及物动词如果所有的迭代 是传递; 是弱混合如果所有非空的开集 , , , 存在 这样 和 ; 是混合如果由于任何一对非空的开集 和 存在 这样对所有 一个人 。我们说 有密度小的期集如果每一个非空的开集 有一个封闭的子集 和 这样 。

一个点 是周期如果 对于一些 。我们说 有对初始条件敏感的依赖如果有一个常数 这样对每一个点 和每一个社区 关于 ,有一个 和一个 这样 。传递的地图,有一组密度的周期点,初始条件的敏感依赖摘要混沌(13]。然而,敏感依赖初始条件是传递性的结果连同一套致密的周期点(14,15]。更准确地说,敏感性定义中是多余的状态空间 是无限的。这一事实揭示了拓扑,而不是度量,混乱的性质。在本文中,我们说一个地图 是摘要混沌(混乱的),如果是传递和密集的周期点集。

命题2.1(见[7])。这个家庭 满足以下属性:(1) ,对所有 ,(2) 当且仅当 ,对所有 ,(3) ,对所有 ,(4) 。

命题2.2(见[7,8])。让 是一个开放的子集 。定义 ,然后 是一个开放的子集 。

命题2.3(见[7,8])。如果 有周期性的密度 ,然后 有周期性的密度 。

命题2.4(见[4])。对于任何连续映射 , 是弱混合当且仅当对任何非空的开集 和 有一个 这样 和 。

3所示。 混乱的暗示 混乱的

在本节中,讨论了一些条件, 混乱的暗示 混乱。让 的子空间 。请注意, 对所有 。我们说一个拓扑空间 有不动点性质(简而言之, 如果每个连续映射 有一个固定的点。我们将表示家族所有非空的紧凑的子集 这有 。通过 。定义 。定理3.2下面显示,当 混乱将意味着 混乱。注意,在[7,8), 传递意味着 传递,来证明 是混乱的,它可以证明吗 有周期性的密度。

3.1的话。让 是的一个子集 ,让 。我们可以得出这样的结论:如果 是一个开放的子集 ,然后 是一个开放的子集 。因此,我们获得 传递意味着 传递,证明类似于定理3 (7]。

定理3.2。让 是连续的, 德的扩展 , 的子空间 这样 对所有 。如果 ,然后 混乱的暗示 混乱。

证明。自 是及物动词,它遵循备注吗3.1,这 是传递。因此,它就可以证明 是定期的。
如果 和 ,然后 ,周期性的密度 ,存在 和 这样(一) ,(b) 。
一方面,通过命题2.1(3)和(4),我们有 。因此,梳理(a)和(b) 对所有 。
另一方面,地图 给出的 对于每一个 是一个连续的地图。自 有 。(回想一下, ),它遵循 有一个固定的点 这样 ,也就是说, 是一个周期点的 包含在 。因此,由于(3.1),我们得到 对所有 。因此, 有周期性的密度 。这个定理证明。

3.3的话。的条件 在定理3.2是限制性的。事实上,我们可以考虑 不同的条件,例如 的子空间紧凑的凸模糊集。更具体地说,让 是所有模糊集的家庭 满足(我) ,这意味着 上断断续续的, 紧凑,(2) 是模糊凸, ,(3) 非空的。
如果 具有拓扑生成的吗levelwise规 ,然后每一个紧凑的凸子集 有 。(12]。因此,在定理的条件3.2可能会稍微改变。

命题3.4。如果 是传递,那么 是弱混合。

证明。假设 是传递。由命题2.4,它可以表明,对于任何非空的开集 和 ,有一个 这样 由于命题2.2, 和 是开放的子集 所以, 是开着的。因此,通过传递性 ,有一个 这样 因此,我们有
一方面, ,存在 和 这样 。由命题2.1(3)和(4),我们有 对于任何 ,我们有 。另一方面,我们可以选择 这样 ,它将跟随的感应 。

众所周知,一个完全传递系统拥有密集的时间点是弱混合。下列命题显示完全传递地图茂密的小段集也是弱混合。

命题3.5。如果 是一个完全传递地图密集小段集,然后呢 是弱混合。

证明。让 , , , 是任何非空的开放的子集 。这就可以证明 对于一些 。自 是传递,有吗 这样 是开放的和非空的。因此 包含一个封闭的子集 的时期 。为 ,我们有 , 。自 非空的、开放的和吗 是传递,有吗 这样 那里 。设置 意味着 是弱混合。

4所示。 弱混沌意味着 混乱的

关于模糊动力系统的传递性,作者在7)证明, 传递意味着 传递,但反过来是不正确的。在[8,10)作者提出,不能传递模糊化 ,但存在一个过渡空间的模糊性正常的模糊集。在本节中,我们提出另一种方法证明 是弱混合意味着 是弱混合,从而传递。应该提到我们的方法的灵感来源于[提出的想法8,10]。

我们说一个地图 是弱Devaney混乱(弱混沌)如果是弱混合和定期密集。让 是的一个子集 。集

命题4.1。让 , , 的子集 ,(1) 当且仅当 ,在那里 空的模糊集吗( 为每一个 ),(2)假设 意味着 ,然后 ,(3) ,(4)如果 是一个非空的开放的子集 ,然后 是一个非空的开放的子集 。

证明。 是直接从定义。
如果 ,然后存在 这样 。然后 和 。因此,夹杂物 遵循。相反,让 。然后存在 和 这样 和 ,分别。因此,通过假设, 这意味着 所以, 。因此,有 这样 和包容 是真的。
如果 ,然后存在 这样 。因此,通过命题2.1(3),我们有 ,因此, 。
假设 不是开放的。对于任何 和 ,存在开放 社区 的 这样 和 。考虑一个模糊集 。自 和 我们获得 ,在那里 是一个开放的球吗 。然而, ,因此, 。也就是说,没有 附近的 包含在 ,这与事实 是开放的 。

命题4.2。如果 是弱混合 是弱混合。

证明。假设 是弱混合。由命题2.4,它可以表明,对于任何非空的开集 和 的 ,有一个 这样 自 和 是开放的,命题4.1(4), 和 也开集。由于 是弱混合,有吗 这样 由命题4.1(3)和2.1(4),我们有 因此,使用命题4.1(2),它遵循 因此,

定理4.3下面是一个直接后果,它表明当 是弱混合, 将混乱的提供 是混乱的。

定理4.3。让 是连续的, 德的扩展 。如果 是弱混沌,然后 是混乱的。

证明。由命题4.2, 是弱混合,因此传递,将这种断言和命题吗2.3,我们可以得出这样的结论: 是混乱的。

5。结论和讨论

在这目前的调查中,我们讨论的原始动力特性之间的关系和fuzzified动力系统。更具体地说,我们研究传递性、周期性的密度,和弱混合等等。我们表明,原系统的动态特性及其模糊扩展相互继承了一些全球的特征。更准确地说,以下影响(一) 混乱的暗示 混乱(定理3.2),(b) 是及物动词 是弱混合(命题3.4),(c) 是弱混合 是弱混合(命题4.2),(d) 是弱混沌 混乱(定理4.3)。

实际上开放问题[7在[]已经完全解决9),这里我们提出另一个方法来回答这个问题。值得注意的是,完成系统的泛化 ,我们需要赋予 度规。在考虑实际解释和计算机实现时,可以在这里解决了一个问题:有其他可用的指标吗?在[9),作者讨论了一些有关这个学科的其他指标。

另一方面,众所周知,任何给定的离散动力系统独特的诱发fuzzified同行,也就是说,一个离散模糊动力系统。有各种各样的尝试“fuzzify”离散动力系统。这些方法之一出现在[16),一个 规范或 -conorm 被用来fuzzify离散系统中指定,然后阐述了(9在更一般的方法,即 模糊化。因此,这个概念的基础上提出了(9),这将是有趣的研究动态属性的原始和之间的关系 -fuzzified动力系统。这将是我们未来工作的一个方面。

确认

这部分工作是由中国国家自然科学基金(没有。11226268,没有。11071061,没有。61202349),中国国家基础研究项目(没有。2011 cb311808),湖南省NNSF(没有。10 jj2001),和CUAS NSF(没有。Z2010ST14)。