文摘

我们发现最大的值,和最小值,这样不平等的两倍和适用于所有与和现在的一些新的边界完全椭圆积分。在这里,,是算术几何、蟾蜍和th基尼两个正数的手段和,分别。

1。介绍

为的th基尼的意思和权力的意思两个积极的实数和是由 分别。

众所周知,和连续和严格增加对吗固定与。许多意味着特殊情况的手段,例如,

最近,基尼和权力意味着已被深入研究的目标。特别是,许多显著的不平等这些意味着可以在文献中找到1- - - - - -7]。

在[8),蟾蜍介绍了蟾蜍的意思两个正数和如下: 在哪里,是第二类完全椭圆积分。

经典的算术几何平均两个正数和被定义为序列的共同限制吗和,这是由

高斯的身份(9)表明, 为,在那里,,这是第一类完全椭圆积分。

Vuorinen [10推测, 对所有与。邱和沈[这个猜想被证明11)和巴纳德等人在12),分别。

在[13],Alzer和秋提出了一个最好的上层权力的意思是开往蟾蜍的意思如下: 对所有与。

在[14- - - - - -17),作者证明了这一点 对所有与,在那里 表示两个正数的古典对数平均和。

最近,楚和王18和郭先生与气19)证明 对所有与,和是最好的上下黄土意味着蟾蜍的界限的意思吗,分别。在这里,th黄土的意思两个正数和被定义为。

本文的主要目的是找到最大的值,和最小值,这样不平等的两倍和适用于所有与和现在的一些新的边界完全椭圆积分。

2。初步知识

在这篇文章中,我们表示为。

为,下面的导数公式提出了在9附录E,页474 - 475):

引理2.1可以发现在9定理3.21(7)、(8)和(10),和锻炼3.43(13)和(46)]。

引理2.1。(1)是严格递减的到为;
(2)是严格增加当且仅当并严格减少当且仅当;
(3)是严格递减的到;
(4)是严格增加从到;
(5)是严格递减的到。

3所示。主要结果

定理3.1。不平等适用于所有与,和是最好的上下基尼对算术几何平均范围意味着什么。

证明。从(1。1)和(1。5我们清楚地看到这两个和是对称的同质程度的1。不失一般性,我们假设。让和。然后从(1。1)和(1。6)和(2.2我们清楚地看到这一点
让 然后可以写成 在哪里
众所周知,这个函数积极和严格减少在吗。然后(3所示。4)和引理2.1(1)导致的结论严格增加,所以为。
因此,遵循从(3所示。1)- (3所示。3)。
另一方面,是直接从(1。9)。
接下来,我们证明和是最好的上下基尼对算术几何平均范围意味着什么。
对于任何和,从(1。1),(1。6),引理2.1(3) 让利用泰勒展开式,
方程(3所示。5)- (3所示。7)对任何暗示存在和,这样为和为。

定理3.2。不平等适用于所有与,和是最好的上下基尼意味着蟾蜍的界限的意思吗。

证明。从(1。1)和(1。4我们清楚地看到这两个和是对称的同质程度的1。不失一般性,我们假设。让和。然后从(1。1),(1。4)和(2.3)我们有
让 然后简单的计算导致 在哪里
它遵循从(3.12)和引理2.1(1)、(4)和(5)是严格递减的到。然后(3.11)导致的结论为。因此严格递减。
因此,遵循从(3所示。8)- (3.10)的单调性。
另一方面,是直接从(1。7)。
接下来,我们证明和是最好的上下基尼意味着蟾蜍的界限的意思吗。
对于任何和,从(1。1)和(1。4)有
让利用泰勒展开式,我们得到的
方程(3.13)- (3.15)对任何暗示存在和,这样为和为。

4所示。言论和推论

4.1的话。从(3所示。9)和引理2.1(4)我们清楚地看到这一点。然后(3所示。8)和(3所示。9)的单调性导致的结论 对所有与。

4.2的话。我们发现下界在(1.10)和最好的降低基尼意味着束缚在定理3所示。1不具有可比性。事实上,从(1。1)和(1.11)我们有

4.3的话。以下两个方程表明,最好的上层权力意味着束缚在(1。8)和最好的上层基尼意味着束缚在定理3所示。2不是比较:

从定理3所示。1我们得到一个上界第一类完全椭圆积分如下。

推论4.4。不平等 适用于所有。

4.5的话。计算和数值实验表明,上界(4所示。4)对于一些非常精确。事实上,如果我们让,然后我们有表1通过基本的计算。

以下为第二类完全椭圆积分边界根据定理3所示。2和评论4.1。

推论4.6。不平等 适用于所有。

4.7的话。计算和数值实验表明,上界(4所示。5)对于一些非常精确。事实上,如果我们让,然后我们有表2通过基本的计算。

确认

这项工作是支持的中国自然科学基金(批准号11071069),浙江省自然科学基金(批准号Y7080106)和教育部创新团队基础的浙江省(批准号T200924)。