文摘

我们建议和分析修改extragradient方法求解变分不等式,强烈收敛minimum-norm解决方案的一个无限维的希尔伯特空间中的一些变分不等式。

1。介绍

让是一个真正的希尔伯特空间的闭凸子集。一个映射被称为-inverse-strongly单调如果存在一个正实数这样 变分不等式问题是找到这样 的变分不等式问题的解决方案是用。众所周知,变分不等式理论已经成为研究的一个重要工具类的障碍,单边,和平衡问题,出现在几个分支的纯粹和应用科学统一和通用框架。一些数值方法求解变分不等式和相关优化问题;参见[1- - - - - -36)和引用。

众所周知,变分不等式是等价的不动点问题。这个替代配方已经用于研究变分不等式的解的存在以及发展的几种数值方法。利用这个等价,可以建议下面的迭代法。

算法1.1。对于一个给定的,计算近似解通过迭代计划 众所周知,算法的收敛性1。1要求操作员必须强烈单调和李普希兹连续的。这些限制条件排除了其应用在几个重要的问题。为了克服这些缺点,Korpelevič建议(8一个算法的形式 努尔(2)进一步提出和分析了以下新的迭代方法求解变分不等式(1。2)。

算法1.2。对于一个给定的,计算近似解通过迭代计划 这被称为extragradient修改方法。算法的收敛性分析1。2,请参阅努尔(1,2)和引用。我们想指出算法1。2非常不同的方法Korpelevič[8]。然而,算法1。2失败,在一般情况下,收敛强烈无限维的希尔伯特空间的设置。
在本文中,我们表明,考虑一个非常简单的修改extragradient方法收敛强烈的minimum-norm解变分不等式(1。2)在一个无限维的希尔伯特空间。这个新方法包括努尔的方法(2)作为一个特殊的例子。

2。预赛

让是一个真正的希尔伯特空间内积和规范,让是一个封闭的凸子集。众所周知,任何有一个独特的存在这样 我们表示通过,在那里被称为度量投影的到。度规投影的到具有以下基本性质:(我) 对所有;(2) 对于每一个;(3) 对所有,。

我们需要以下引理证明我们的主要结果。

引理2.1(见[15])。假设是一个非负实数序列,这样 在哪里是一个序列和是一个序列,这样(1) ;(2) 或不要犹豫。

3所示。主要结果

在本节中,我们将证明我们的主要结果。

定理3.1。让是一个真正的希尔伯特空间的闭凸子集。让是一个-inverse-strongly单调映射。假设。对于给定任意,定义一个序列迭代的 在哪里是一个序列和是一个常数。假设满足以下条件:( ):;( ):;( ):。然后序列由(3所示。1)强烈收敛minimum-norm元素。

我们将把我们的详细证明分成几个结论。

证明。取。首先,我们需要使用以下事实:(1) ;特别是, (2) 是扩张呢 从(3所示。1),我们有 因此, 因此,是有界的,所以是谁,。
从(3所示。1),我们有 在哪里是一个常数,这样吗。因此,由引理2.1,我们获得 从(3所示。4),(3所示。5)和凸性的规范,我们推断 因此,我们有 自和作为,我们获得作为。
的财产(ii)度量投影,我们有 由此可见, 因此 这意味着 自,,我们得到。
接下来,我们表明, 在哪里。显示,我们选择一个子序列的这样 作为这是有界的,随后发生的事情吗的弱收敛于。
接下来,我们表明,。我们定义了一个映射通过 然后最大单调(见[16])。让。自和,我们有。另一方面,从,我们有 也就是说, 因此,我们有 注意的是,,,是李普希兹连续,我们获得。自是最大单调,我们有吗,因此。因此, 最后,我们证明。度量的属性(ii)投影,我们有 因此, 因此, 我们应用引理2.1推断出最后的不平等。这就完成了证明。

3.2的话。我们的算法(3所示。1)类似于努尔的修改extragradient方法;参见[2]。然而,我们的算法具有较强的收敛性在无限维的希尔伯特空间的设置。

确认

y姚明的部分支持由学院和大学科技发展基金会(20091003)天津,国家自然科学基金委11071279,国家自然科学基金委11071279 - g0105。研究。TH-1-3 Liou部分支持的项目,优化精益周期,子项目锭子th)卓越计划四程萧若元大学的教学计划和支持部分NSC 100 - 2221 - e - 230 - 012。