文摘

我们介绍和研究一些新的类变分不等式和维纳霍普夫方程。利用本质上投影技术,我们建立这些问题之间的等价性。这个等价用于显示和分析一些一般多值变分迭代方法求解等式与扩张映射的映射。我们是一个强大的收敛结果寻找的共同元素扩张映射的不动点集和集解决方案一般多值变分不等式的一些温和的条件下。几种特殊情况进行了讨论。

1。介绍

变分不等式问题的最初研究Stampacchia在1964年。变分不等式应用在不同的学科,如偏微分方程最优控制,优化、数学规划,力学,和金融,看到1- - - - - -33)和引用。变分不等式,推广使用小说和创新技术在几个方向。它是一种常见的实践研究这些变分不等式在凸性的设置。它已经被观察到的最优性条件可微凸函数可以由变分不等式的特点。近年来,它已被证明,最小的可微凸函数也可以表现为变分不等式。这些发展的激励与鼓舞,努尔(19]介绍了一种新型的变分不等式涉及两个非线性操作符,称为广义变分不等式。值得一提的是,这个一般变分不等式是显著不同于所谓的一般变分不等式引入的努尔(161988年)。努尔(19]证明了一般变分不等式是等价的非线性投影方程和维纳霍普夫方程利用投影技术。使用这种等效公式,努尔(19)建议和分析一些迭代算法求解特殊广义变分不等式和进一步证明这些算法有很强的收敛。在本文中,我们引入了考虑变分不等式的一个新类,叫做一般多值变分不等式。本质上使用投影技术,建立多值之间的等价变分不等式和多值维纳霍普夫方程。

相关的变分不等式,我们发现扩张映射的不动点问题的映射,这是当前的主题功能分析的兴趣。人们很自然地考虑一个统一的方法这两个不同的问题。诺尔和黄21)考虑的问题发现的常见元素的变分不等式的解集的扩张映射的不动点集的映射。我们使用维纳霍普夫技术建议和分析一些迭代方法寻找共同要素的共同元素扩张映射的不动点集和集解决方案的特殊广义变分不等式。我们也考虑到在适宜的条件下,提出的算法的收敛标准。几种特殊情况进行了讨论。

2。预赛

让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让是一个多值映射。让是两个非线性运算符。我们考虑问题的发现和这样 不平等的类型(2.1)一般多值变分不等式。我们将表示一组特殊的广义变分不等式(解决方案的2.1)。一般多值变分不等式(2.1)可以用下面的等价形式,也就是说,找到和这样 这相当于配方是非常重要的,在开发中扮演着关键角色的迭代方法求解一般多值变分不等式。

现在我们讨论一些特殊情况。

特殊情况
(一)如果,然后(2.1)降低:找到这样 被称为一般变分不等式,介绍并研究了努尔(19]。已经显示的最小类的可微函数可以通过的一般变分不等式的特点类型(2.3)。
(B)如果标识符,然后(2.1)降低了寻找和这样 这被称为轻度非线性多值变分不等式和已被广泛的研究。
如果和单值非线性操作符,那么问题(2.1)相当于发现这样 这被称为轻度非线性变分不等式,起源可追溯到努尔(15]。
(C)如果和,然后(2.1)降低:找到这样 这是著名的变分不等式,最初由Stampacchia[介绍和研究241964年)。很明显从上面的讨论,一般多值变分不等式很一般。已经表明,各种类的数学和工程科学各学科出现的问题可以通过一般多值变分不等式(研究2.1)和它的特殊情况。

在续集中,我们需要以下著名的引理。

引理2.1。对于一个给定的满足不等式 当且仅当 在哪里的投影闭凸集。

利用引理2.1可以证明,一般多值变分不等式(2.1)相当于以下不动点问题。

引理2.2。 是一个特殊的广义变分不等式的解(2.1)当且仅当满足的关系 在哪里是一个常数。

与一般多值变分不等式(2.1),我们认为解决维纳霍普夫方程的问题。让是两个非线性运营商和是一个多值放松单调算子。让,在那里是标识符。我们考虑问题的发现这样 叫做特殊一般多值维纳霍普夫方程。我们使用来表示的一组解决方案的特殊一般多值维纳霍普夫方程。的不同,选择合适的运营商,我们可以获得各种形式的维纳霍普夫方程,已经研究了努尔(17施],[22),和其他人。

使用的技术努尔(17,18)和应用引理2.2,一个可以建立维纳霍普夫方程和一般多值之间的等价变分不等式(2.1)。表达一个想法的技术和为了完整性,我们包括它的证明。

引理2.3。如果,然后和满足一般维纳霍普夫方程(2.10), 在哪里是一个常数。

证明。让。然后,从引理2.2,我们有 让 然后,我们有 因此,从(2.13),我们得到 由此可见, 在哪里,这正是一般维纳霍普夫方程(2.10)。这就完成了证明。

2.4的话。让是一个扩张映射的映射。如果,那么你可以很容易看到 这是意味着 在哪里是一个序列。

使用的话2.4和引理2.3,我们可以提出以下解决方案集的算法寻找共同点的变分不等式和扩张映射的不动点集的映射。

算法2.5。对于一个给定的随意,让序列是由 在哪里是一个序列和是一个常数。

注意,如果,然后算法2.5减少以下迭代法求解一般变分不等式。

算法2.6。对于一个给定的随意,让序列是由 在哪里是一个序列和是一个常数。

如果,然后算法2.5减少以下迭代法求解广义变分不等式(2.3),这被认为是由努尔(19]。

算法2.7。对于一个给定的随意,让序列是由 在哪里是一个序列和是一个常数。

如果和,然后算法2.5减少以下迭代法求解变分不等式(2.6)。

算法2.8。对于一个给定的随意,让序列是由 在哪里是一个序列和是一个常数。

我们回忆起著名的概念。多值映射据说是-Lipschitzian如果存在一个常数这样 回想一下,一个映射被称为扩张如果 我们将使用表示固定的点的集合。

一个映射被称为强单调如果存在一个常数这样 和李普希兹连续如果存在一个常数这样

3所示。主要结果

现在我们国家和证明我们的主要结果。

定理3.1。让是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间。让是一个强烈的单调,李普希兹连续映射,一个强烈的单调,李普希兹连续映射和是一个李普希兹连续映射。让这样是一个扩张映射。假设 在哪里 然后,近似解从算法获得2.5强烈收敛。

证明。让。然后,从评论2.4,我们有 在哪里和满足一般维纳霍普夫方程(2.10)。
从(2.19)和(3所示。1),我们有 从(2.19),我们有 自是一个强烈的单调,李普希兹连续映射,我们有 在哪里。
同时,我们注意到是一个强烈的单调,李普希兹连续映射,所以我们有 从(3所示。5)- (3所示。7),我们有 在哪里 使用(3所示。1),我们看到。用(3所示。4)(3所示。8),我们有 自发散,,我们有。因此,序列强烈收敛在,所需的结果。

4所示。结论

的一个最困难和重要的变分不等式问题是一种有效的数值方法的发展。的技术称为投影方法和它的变体形式。投影方法代表了一个重要工具寻找各种类型的变分不等式的近似解。方法是在1970年代开发的投影类型。在这个技术的主要思想是建立之间的等价变分不等式和定点问题使用投影的概念。这些方法已经以各种方式扩展和修改。施(22)被认为是解决非线性系统的预测问题,这被称为维纳霍普夫方程。它已被证明史(22],维纳霍普夫方程是等价的变分不等式。事实证明,这种替代配方更一般的和灵活的。它已经表明,维纳霍普夫方程为我们提供一个简单的、自然的,优雅的,方便设备开发一些高效的数值方法求解变分和互补性问题。在本文中,我们介绍和研究一些新的类变分不等式和维纳霍普夫方程。利用本质上投影技术,我们建立这些问题之间的等价性。这个等价用于显示和分析一些迭代方法求解一般多值变分不等式与扩张映射的映射。我们是一个强大的收敛结果寻找的共同元素扩张映射的不动点集和集解决方案一般多值变分不等式的一些温和的条件下。几种特殊情况进行了讨论。本文的思想和技术可能是一个起点一个广泛的小说和各领域的创新应用。

确认

作者感谢裁判有用的意见和建议。m . Aslam努尔教授的研究支持沙特国王大学的客座教授计划,利雅得,沙特阿拉伯,和研究资助:KSU.VPP.108。