文摘
我们定义tracial的概念代数的代数,推广当地的概念代数的代数由h .大阪和n·c·菲利普斯。让是分离unital的任何类代数。让是一个无限维的简单unital tracial代数(SP)的财产,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。然后是一个简单的unital tracial吗代数。
1。介绍
在本文中,我们的目的是证明某些类的分离unital代数交叉下封闭产品通过有限群行动tracial Rokhlin财产。
“tracial”一词被广泛用于描述的属性代数自林介绍tracial等级的概念代数(1]。tracial等级的概念是出于核的艾略特项目分类代数。代数与tracial等级不超过对于一些是代数,可以局部近似代数在后剪一个“小”大约中心投影。“tracial”一词来自这一事实,在良好的情况下,投影是“小”如果对于每个tracial状态在。的代数可以由tracial等级为零理论,因此可以分类。林为例,证明了,如果一个简单的分离unital检验的代数tracial等级零和满足通用系数定理,然后呢是一个简单的AH-algebra尺寸增长缓慢和真正的零(排名2,3]。在[4),方发现某些nonsimple的分类代数与tracial等级为零。
这些成就表明,一个“tracial”版本的其他考虑代数的概念。在[5),姚明和胡锦涛介绍了tracial真正的等级的概念代数。在[6),风扇和方介绍tracial稳定秩的概念代数。在[7,8),艾略特和妞妞,方舟子和风扇研究tracial近似属性的一般概念代数。Rokhlin财产的概念在遍历理论适应了上下文的冯诺依曼代数康涅狄格州(9]。然后赫尔曼Ocneanu [10]和Rørdam [11岸本]和[12]介绍了Rokhlin财产更一般的背景代数。在[13],菲利普斯的概念引入tracial Rokhlin房地产有限群的行动,这是普遍比Rokhlin属性。在[14)、大阪和菲利普斯的概念引入地方unital类属性和近似类属性代数,证明了这两个属性是交叉产品通过有限的行动下封闭Rokhlin财产。
受这些论文介绍tracial类的属性的概念代数和证明,适当的类代数,tracial类属性交叉产品通过有限群的行为下封闭tracial Rokhlin财产。作为结果,我们得到类似的结果(13- - - - - -18如以下的。让是一个可分离的简单unital代数,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。如果是一个AF-algebra呢tracial等级为零。如果是一个一个代数(SP)的属性tracial等级不超过一个。如果稳定等级1和真正的等级为零,然后诱导交叉产品这两个属性。
2。定义和预赛
我们表示有限维的类代数和的类代数的形式,在那里,是一个有限的连续波复杂和尺寸吗,是一个投影。
让预测在和。如果Murray-von诺伊曼相当于吗,那么我们写。如果Murray-von诺伊曼相当于subprojection的,那么我们写。
让是一个代数,让是的一个子集。如果;然后我们写。如果存在一个元素这样,那么我们写。
定义2.1(见[19、定义操作]、[5定义1.4,),6定义2.1])。让是一个简单的unital代数和。据说tracial等级不超过;写;(tracial真实排名零,写作;tracial稳定排名,写作),如果任何,任何有限的子集和任何非零的积极元素存在一个非零投影和一个子代数与和(;、职责)等(1) 对于任何,(2) 对所有,(3) 。
此外,如果然后我们说,。
引理2.2(见[5定理3.3],[6定理3.3])。让是一个简单的unital代数。如果,然后。如果,(SP)的财产。
定义2.3(见[13定义1.2])。让是一个无限维空间有限的简单分离unital代数,让是一个有限群的行动在。我们说如果有tracial Rokhlin属性,每一个吗,每一个有限集,每一个积极因素,有相互正交的投影这样(1) 对所有,(2) 对所有和所有,(3)与,。
引理2.4(见[13推论1.6])。让是一个无限维空间有限的简单分离unital代数,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。然后很简单。
引理2.5(见[20.定理4.2])。让是一个简单的unital代数(SP)的财产,让是一个离散的行动小组在。假设正规子群的是有限的;那么任何非零遗传子代数的过的产品有一个非零投影Murray-von诺伊曼相当于投影在吗。
如果操作有tracial Rokhlin财产,那么每个外的所有。所以。自通过引理2。5我们有下面的引理。
引理2.6。让是一个无限维空间有限的简单分离unital代数(SP)的财产,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产;那么任何非零遗传子代数的过的产品有一个非零投影Murray-von诺伊曼相当于投影在吗。
引理2.7(见[19,引理])。让是一个简单的代数(SP)的财产,让是两个非零预测。然后有非零的预测这样。
定义2.8(见[14定义1.1])。让是一类可分unital代数。我们说有限饱和如果关闭以下条件。(1)如果和,然后。(2)如果为,然后。(3)如果和,然后。(4)如果和是一个非零的投影,然后呢。
此外,有限类的饱和是最小的有限饱和类包含吗。
定义2.9(见[14定义1.2])。让是一类可分unital代数。我们说是灵活的。(1)对于每一个,每一个,每一个非零投影的角落里semiprojective有限生成;(2)对于每一个和每一个理想,有一个增加序列理想的这样例如对于每个的代数在有限的饱和。
例2.10。
让;也就是说,包含所有有限维代数。是有限的饱和和灵活。
让。我们可以证明是有限的饱和和灵活。
让。我们也可以证明是有限的饱和和灵活。
对于一些,让包含所有的代数,在那里,每个是一个非零投影在吗,每个是一个紧凑的度量空间覆盖维最多。类不灵活的(见[142.9的例子)。
定义2.11(见[16定义1.4])。让是一类可分unital代数。一个unital近似代数是一个代数是同构归纳极限,每个在有限的饱和而且每个同态unital。
定义2.12(见[14定义1.5])。让是一类可分unital代数。让是一个可分unital代数。我们说是一个unital当地代数,如果对每一个和每一个有限的子集,有一个代数在有限的饱和度和一个同态这样对所有。
由(141.6)命题,如果是一个有限饱和弹性类可分unital吗代数,然后每个unital地方代数是unital近似代数。反过来是明确的。
让是一个类的例子2.10。然后unital AF-algebra unital近似代数和unital当地代数。
让是一个类的例子2.10。然后一个unital代数是unital近似代数和unital当地代数。
定义2.13。让是一个简单的unital代数,让是一类可分unital代数。我们说是一个tracial代数,如果任何,任何有限的子集,任何非零的积极元素存在一个非零投影,一个代数在有限的饱和度和一个同态与,这样(1) 对于任何,(2) 对所有,(3) 在。
使用类似的引理的证明(19]关于tracial unital世袭的等级一个简单的代数unital代数,我们得到下面的一个。
引理2.14。让可分unital任何有限饱和类代数。让在一个简单的unital投影代数(SP)的财产。如果是一个tracial代数,所以也是。
为,,unital代数,如果,因为的元素,这样为,这样为,这样为,这样的是相互正交的预测,我们说吗形成一个近似的系统矩阵单位。
引理2.15。对于任何,任何,存在这样,每当是一个矩阵系统单位,每当是一个unital代数,每当,因为的元素形成一个近似的系统单位矩阵,然后存在同态这样为和为。
3所示。主要结果
定理3.1。让是分离unital的任何类代数。让是一个无限维空间有限的简单unital tracial代数(SP)的财产,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。然后是一个简单的unital tracial吗代数。
证明。由引理2。4,是一个简单的unital代数。通过定义2.13,它可以显示如下。
对于任何,任何有限的子集,在那里是一个单位的有限子集球的和实现自同构的规范统一的吗,任何非零的积极元素存在一个非零投影,一个代数在有限的饱和度和一个同态与,这样(1)
对于任何,(2)
对所有,(3)
在。
由引理2。6,存在一个非零的投影这样在。
自是无限维的简单unital代数(SP)的财产,由19,引理),存在正交非零预测这样。
集并设置。选择根据引理2.15为鉴于以上,在的地方。此外,我们可能需要。
应用定义2。3与鉴于以上,在的地方,在的地方。存在相互正交的预测为这样
)
对所有,(
)
对所有和所有,(
)
在,在那里。
由引理2。7有非零的预测这样和。
定义为。由定理2.2的证明(14),我们可以估计形成一个近似的系统矩阵单位。此外,。
让单位的系统矩阵。由引理2.15,存在一个同态这样
对所有,对所有。
集。定义一个单射unital同态通过
对所有和。然后
对所有和
由(),为所有,我们有
由(),为所有,我们得到
对所有,我们有
也就是说,,我们有
集;然后。使用,我们得到
我们也有
然后,对所有,我们有
也就是说,,
由(3.8)和(3.12),我们可以写
对所有。
写
由引理2.14,是一个简单的unital tracial吗代数。应用定义2.13与鉴于以上,在的地方和在的地方。存在一个非零的投影,一个代数在有限的饱和度和一个同态与,这样(1′′)
对于任何,(2′′)
对所有,(3′′)
在。
集和。
对于每一个,存在这样。然后
也就是说,
让这样。然后
因此,
由(),在,。因此,
从(3.16),(3.18)和(3.19),是一个简单的unital tracial吗代数。
推论3.2。让是一个无限维度unital分离简单代数,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。如果是一个AF-algebra,然后诱导交叉产品tracial等级为零。如果是一个一个代数(SP)的财产,然后诱导交叉的产品tracial等级不超过一个。
证明。如果是一个AF-algebra呢是一个unital当地代数,是一个类的代数满足条件的例子2.10。由定理3.1,我们知道是一个简单的unital tracial吗代数。tracial等级的定义为零,。
如果是一个一个代数,然后是一个unital当地代数,是一个类的代数满足条件的例子2.10。由定理3.1,我们知道是一个简单的unital tracial吗代数。覆盖维以来封闭的圆是不超过一个的子集,通过tracial等级的定义,。
应该注意的是,证明了AF-part菲利普斯(13定理2.6。
推论3.3。让是一个无限维空间有限unital分离简单代数(SP)的财产,让是一个有限群的行动在的tracial Rokhlin财产。如果已经稳定的排名,然后诱导交叉产品稳定的排名。如果有真正的等级为零,然后诱导交叉产品有真正的等级为零。
证明。让是所有的类可分unital代数与稳定的排名。由定理、3.18和3.19 (19),我们有是有限的饱和和满足条件的定义2。9。由定理3.1,交叉产品是一个简单的unital tracial吗代数,对于任何,任何有限的子集,任何非零的积极元素存在一个非零投影,一个代数在和一个同态与,这样(1)
对于任何,(2)
对所有,(3)
在。
因此,。由引理2。2,。
让是所有的类可分unital代数与真正的等级为零。我们可以使用相同的参数表明,交叉的产品是一个简单的unital tracial吗代数。因此。由引理2。2,。
确认
本文由中国国家自然科学基金(11071188)和浙江省自然科学基金(LQ12A01004)。作者想表达自己衷心的感谢裁判,他们非常有用的评论和建议。