文摘

一个变分同伦摄动方法(VHPM)基于变分迭代法和同伦摄动方法应用于解决部分初始边值问题的近似解。非线性项可以很容易地由他多项式的使用。观察到变分迭代方法是非常有效的和容易实现;包括一些说明性的示例来演示这种新算法的高精度和快速收敛性。

1。介绍

最近,它已经发现许多现象在工程,物理,化学和其他科学1- - - - - -3)可以很成功地通过模型来描述使用分数微积分的数学工具。的重要性获得分数的精确和近似解非线性方程在物理和数学仍然是一个重要的问题,需要新的方法来发现精确和近似的解决方案。但这些非线性分数微分方程很难得到精确解(4- - - - - -7]。所以,一些半解析技术也主要是用来解决这些方程,如Adomian分解方法(8,9),变分迭代法(10- - - - - -12],微分变换方法[13,14),拉普拉斯分解方法(15,16),和同伦摄动方法17- - - - - -23]。大多数这些方法有其内在的缺陷如Adomian多项式的计算,拉格朗日乘子,发散的结果,和巨大的计算工作。

变分同伦摄动法(24- - - - - -26)有一个非常简单的解决方案过程和吸收所有的积极特性的变分迭代和同伦摄动方法和高度兼容的物理问题的多样性。在这项工作中,我们将使用变分同伦摄动方法来解决部分偏微分方程和初始和边界条件。该算法为解决方案提供了一个快速收敛级数可能导致解决方案在一个封闭的形式。本文考虑了变分同伦摄动方法的有效性在解决部分偏方程。

2。VHPM的描述

为了说明该方法的基本思想(24,25),我们考虑一个通用部分非线性非齐次偏微分方程的初始条件以下形式: 在哪里 非齐次项, 代表了一般非线性微分算子, 是线性微分算子, 卡普托分数导数的函数吗 这是定义为 在哪里 表示γ函数。分数导数的性质可以在[1,2]。根据变分迭代法(10,11),我们可以构造一个校正功能如下: 自然数的价值在哪里 1和2可以对应 和 分别为, 是拉格朗日乘子(11),这可以通过变分迭代方法,确定最优 和 和 和 。下标的 表示 th近似, 被认为是一个受限制的变化。也就是说, ,(2。3)被称为回调功能。在这种方法中,应首先确定拉格朗日乘子 优化。连续的近似 解决方案的, 会容易获得使用拉格朗日乘子决定和选择性函数吗 ;因此,给出的解决方案 。同伦摄动法的基本假设是,解决方案可以写成一个幂级数 : 和非线性项可以分解 在哪里 是一个嵌入参数。 他的多项式26),可以生成的 变分同伦摄动方法得到修正的优雅耦合功能(2。3)变分迭代法和他的多项式,给出的 比较喜欢的权力 给各种订单的解决方案。

这种方法不诉诸弱非线性的线性化或假设,生成的解决方案的形式通解,相比,这是更现实的简化物理问题的方法。

3所示。分方程的近似解

为了评估的优势和准确性分数方程的变分同伦摄动方法,它适用于以下几个问题。

案例1。考虑一维分数初边值问题,描述了热量模型(24]: 与边界条件 在哪里 ,并给出正确的功能

应用修改变分迭代方法, 系数的比较喜欢的权力 , 等等,通过这种方式可以获得解决方案的其他组件。如果我们把 的头几个组件的解决方案(3.1)如下: 解决方案(3.1)是由串联形式 系列解决方案在一个封闭的形式给出 ,这是在(24]。

例2。考虑下面的齐次部分耦合汉堡的方程(26]: 与初始条件 在哪里 。前部分的校正功能耦合系统是由

应用变分同伦摄动方法使用他的多项式,得到 比较喜欢粉的系数 ,一个 如果我们把 ,给出了封闭的系列解决方案 这是在完全赞同中给出的结果26]。

图1描绘了三阶近似解 或 (3.8)- (3.11)通过使用变分同伦摄动方法在选择 。从图中,可以清楚地看到分数汉堡的时间演化方程,我们知道模型的近似解与部分参数是连续的 。图2显示了三阶近似解 或 (3.8)- (3.11)当 ,我们也知道,部分的解决非线性方程与参数变化 。


图1
三阶近似解的表面 (3.8)和(3.9)当 。

图2
三阶近似解的表面 (3.8)和(3.9)当 。

例3。在这种情况下,我们考虑的空间部分落后的柯尔莫哥洛夫方程如下(27]: 受初始条件: 在哪里 。空间分数阶导数也对卡普托定义 和被定义为 校正功能的分级系统是由以前的空间

应用修改变分迭代方法, 比较喜欢粉的系数 ,我们可以获得以下近似: 等等;其余的组件相同的方式的迭代公式(3.21)可以获得使用Mathematica包。当部分衍生品 的精确解(3.17)在(27)使用同伦摄动法和近似解(3.17)是 等等。因此,我们有封闭的形式 这是对应的整数问题的精确解。

4所示。结论

在这项工作中,变分同伦摄动方法基于同伦摄动方法和变分迭代法用于解决分数部分的方程。非线性项可以很容易地由他多项式的使用。值得一提的是,该方法能够减少计算工作的体积比经典方法而仍然保持结果的精度高,和减少大小相当于一个改善性能的方法。VHPM可以申请其他工程系统以更少的计算工作。

承认

作者想表达他们的感谢裁判,他们富有成效的建议和评论。本文是由美国国家科学基金会支持山东省(批准号。Y2007A06和ZR2010Al019)和中国博士后科学基金(批准号20100470783)。