文摘
在本文中,我们证明一个定点定理为一类运营商与合适的属性,在很一般的条件。同时,我们表明,最近的一些定点导致Brzdęk et al .,(2011)和Brzdęk Ciepliński(2011)可以直接从我们的定理。此外,一个肯定的答案Brzdęk的开放问题,Ciepliński (2011)。几个推论,获得直接从我们的主要结果,表明这是一个有用的工具,证明广义Hyers-Ulam稳定的性质对一些功能方程在一个变量中。
1。介绍
功能方程稳定性的研究起源于乌兰的问题(1),关于群同态的稳定性。人士在1941年Hyers [2]给出了肯定的答案的乌兰柯西方程在巴拿赫空间中。人士的Hyers结果是广义的青木(3由Rassias[]添加剂映射和独立4线性映射,通过考虑无限柯西差异。进一步推广了Găvruţa [5)1994年,由取代柯西差异控制映射,Rassias的精神的方法。参见[6]概括。我们提到的结果证明上述文件使用直接法(人士的Hyers):函数方程的精确解是显式地构造成一个序列的极限,从给定的近似解。我们参考读者解释的论文(7,8)和书(9- - - - - -11)(参见论文(12- - - - - -17),补充细节)。
另一方面,1991年贝克(18)使用巴拿赫定点定理给Hyers-Ulam稳定非线性函数方程的结果。2003年,拉19提出了一种新的方法,先后开发的(20.),获得精确的解的存在性和误差估计,基于定点选择。关于一些泛函方程的稳定在一个变量中,我们提到的文章Cădariu和拉21Miheţ],[22),应用广义度量空间的Luxemburg-Jung定点定理,以及纸Găvruţa [23)使用Matkowski的定点定理。同时,Găvruţa引入了一个新方法(24),被称为加权空间法广义Hyers-Ulam稳定(见,也(25])。值得注意的是,两个定点选择错误估计的广义Bianchini-Grandolfi类型的收缩和Matkowski指出Cădariu拉,然后作为基本工具用于证明柯西函数方程的稳定性赋范空间(26),以及单项函数方程(27]。我们还提到的新调查Ciepliński [28),一些应用程序不同的定点定理的理论Hyers-Ulam函数方程的稳定性。
最近,Brzdęk等人证明(29日]的定点定理(不一定)线性算子,他们用它来获得Hyers-Ulam稳定一类函数方程的结果在一个变量中。相同类型的一个定点的结果证明了Brzdęk和Ciepliński30.),在完全非阿基米德度量空间以及在完备度量空间。同时,他们制定一个开放问题有关算子的不动点的唯一性,这将在下一节中定义的。
我们的主要目的是获得一个不动点定理的操作员提供合适的属性,在很一般的条件。在那之后,我们将介绍一些最近的结果(29日,30.)可以作为我们定理的特殊情况下获得的。此外,通过使用我们的结果,我们将给出一个肯定的答案的开放问题Brzdęk Ciepliński,带来最后的纸30.]。最后,我们将展示,主要定理2.2是一种有效的工具,证明广义Hyers-Ulam稳定结果的几个功能方程在一个变量中。
2。结果
我们考虑一个非空的集合完备度量空间和映射和。我们回想一下,是空间的映射从X到Y。
定义2.1。一个说,是收缩如果和与 它遵循
在下面,我们假设满足条件: 对于每一个序列的元素和每一个,
同时,我们假设是一个给定的函数,这样吗
定理2.2。或许有人认为,运营商是收缩和条件和持有。考虑一个映射这样 然后,对于每一个的极限 存在和映射独特的定点随着房地产 此外,如果一个人有 然后独特的定点随着房地产
证明。我们有
的确,对于的关系(2.10)(2.5)。
我们假设(2.10)持有。自是收缩,
利用三角不等式和(2.10),我们获得的
因此,序列是一个柯西序列。自完成,结果存在吗定义为
然后,针对(2.12),我们得到了(2.7)。
现在,我们证明算子的不动点吗。为此,我们证明是一个逐点的连续的。事实上,如果,然后
通过使用条件我们有。但
所以由此可见,。
自是一个逐点的连续,我们获得。因此为。
这是很容易证明的独特的点吗满足(2.7):在(2.12),它的结果
如果是另一个不动点的这样,(2.7),然后我们有
因此
所以让我们获得为。因此。
为了证明这个定理的最后一部分,我们在(2.7和我们取得2.9)。此外,如果拥有和是另一个不动点的这样,(2.9)是满意,然后我们有
因此
让,我们获得,因为,所以。
推论2.3。让是一个非空的集合,完备度量空间,让是一个不减少的运营商满足假设。
如果经营者满足不平等吗
和功能和是这样的,
然后,对于每一个的极限
存在和功能以这种方式定义的是一个固定的角度,
此外,如果条件持有,那么映射独特的定点随着房地产
证明。应用定理2.2它能充分表明该算子从上面的推论收缩,在这个意义上的定义2.1。为此,让我们假设和 通过使用(2.21)和非衰减属性的,我们获得 因此是收缩。的独特性遵循定理2.2。
推论的结果2.3(除了的独特性)最近被证明通过Brzdęk和Ciepliński [30.]。实际上,作者有规定一个悬而未决的问题的独特性。
最近的另一个结果证明(29日),由Brzdęk et al .,可以获得从定理2.2。
推论2.4(见[29日),定理1)。让是一个非空的集合,完备度量空间,,让有地图。让是一个线性算子定义的 为和。如果经营者满足不平等吗 和功能和是这样的, 然后,对于每一个的极限 存在和功能所以是一个独特的定点的定义,
证明。我们应用定理2.2。因此,有必要证明操作员中定义的(2.28),是收缩。为此,让我们假设和
通过使用(2.28)和(2.29),我们获得
所以是收缩。
另一方面,从定义的,它的结果立即的关系成立。
的独特性结果还从定理2.2。为此,我们证明了线性算子满足假设:
因此
以下结果广义Hyers-Ulam稳定函数方程: 也可以来自定理呢2.2。(未知的映射;其他人给出函数。)
推论2.5。让是一个非空的集合,让是一个完备度量空间,让运营商和。我们假设是收缩,条件和,让人考虑一个函数这样 对于给定的映射。然后,对于每一个的极限 在哪里,存在和功能上面的定义,函数方程的唯一解(2.37)和财产 此外,如果一个人有 然后独特的解决方案(2.37),该财产
2.6的话。很容易看到,如果我们在上面的结果 对于给定的映射和,我们得到的推论329日]。
从定理2.2我们得到以下定点的结果。
推论2.7。让是一个度量空间,让是一个函数,随着房地产:每一个序列,。我们考虑一个运营商之一这样,和,,它是。此外,让和是这样的, 和。然后存在 这是唯一不动点的, 此外,如果 成立,那么独特的定点,财产。
证明。结果之前立即从定理2.2通过与单个元素的集合。
确认
作者要感谢裁判和编辑他们的帮助和建议改善。第一作者的工作是支持的部分战略格兰特POSDRU / 21/1.5 / G / 13798,内部POSDRU罗马尼亚2007年到2013年,欧洲社会基金投资共同投资的人。第二作者的工作是项目的结果“Creşterea calităţiişi一competitivităţii cercetării doctorale普林斯顿acordarea德奖学金”(合同de finanţare POSDRU / 88/1.5 / S / 49516)。这个项目是通过分类得到欧洲社会基金的运营2007 - 2013年规划人力资源发展,协调西方Timişoara大学与大学的合作克拉约瓦和弗劳恩霍夫研究所综合系统和设备Technology-Fraunhofer IISB。