文摘
风扇等人研究了行波解的分支,一个双组分Fornberg-Whitham方程。他们给的一部分可能阶段肖像画和获得一些不确定参数条件孤子和扭结(次方)的解决方案。然而,确切的显式参数条件尚未给出孤子的存在,扭结(次方)的解决方案。在本文中,我们研究的分支,双组分Fornberg-Whitham detalis方程,目前的所有可能的相图,并给出了具体明确的参数条件不同的解决方案。此外,不仅孤子和扭结(次方)的解决方案,而且peakons和周期性尖波。我们的研究结果扩展了先前的研究。
1。介绍
2011年,风扇等。1]介绍了双组分后Fornberg-Whitham方程 在哪里表示水面以上水平的高度,和暗示,水平速度场。他们研究了行波解的分支,(1.1)通过获得一些不确定的参数条件孤子,扭结(次方)解决方案,进一步给了这些解决方案的一些表情。然而,他们没有给出显式参数孤波的存在条件和扭结(次方)的解决方案。在本文中,我们进一步分析了分岔(1.1)系统利用动力系统的分岔方法和定性理论(2- - - - - -7]。我们目前的所有可能的阶段确定地画像,给所有的显式参数条件不同的解决方案。此外,我们获得明确peakons和周期性的尖端波(1.1),这并不包括在[1]。
2。分岔的相图
在本节中,我们将获得分岔的过程阶段的肖像(1.1)。
对于给定的常数,替换,与到(1.1),因此, 在哪里'代表对变量的导数。
积分(2.1)一旦导致 这两个和是积分常数。
第二个方程的系统(2.2),我们得到
通过设置,(2.4)成为
让,我们获得一个平面系统 与第一积分
改变了系统(2.6)成为一个哈密顿系统
以来的首次积分系统(2.6)是一样的哈密顿系统(2.10),系统(2.6)应该有相同的拓扑相图系统(2.10)除了直线。因此,我们应该能够获得系统的拓扑相图(2.6)的系统(2.10)。
让
很容易获得的两个极端点如下: 从这我们可以获得一个临界曲线如下:
此外,我们得到两个分叉曲线: 从和,分别。注意,当很明显,。
此外,我们可以获得另一个两个关键曲线,也就是说, 从和,分别。
请注意,(2.16)也可以让获得的。
让是一个奇异点的系统(2.10),那么系统的线性化方程组的特征值(2.10在奇异点)是
从动力系统的定性理论,我们可以确定奇异点的性质的标志。
基于上述分析,给出了信息系统(奇异点的2.10)和他们的关系,和当作为一个例子,在以下引理。
引理2.1。为,一个和系统的奇异点(2.10)可以被描述如下。(一)如果,那么只有一个奇异点表示 。是一个鞍点。(b)如果,然后有两个奇异点表示和 ,分别。是一个鞍点吗是一个堕落的鞍点。(c)如果,然后有三个奇异点表示,, ,分别。和鞍点和是一个中心。(d)如果,然后有三个奇异点表示,, ,分别。和鞍点和是一个中心。(e)如果,然后有两个奇异点表示和 ,分别。是一个堕落的鞍点和是一个鞍点。(f)如果,那么只有一个奇异点表示 。是一个鞍点。
证明。引理2.1很容易从函数的图形可以直接获得,如图1(注意,)。
2.2的话。时的情况是很容易从类似的分析系统(2.8),为了简单起见,我们在这里省略它。
在其他情况下,也可以采取类似的分析结论。为了简单起见,我们省略这些流程。然而,值得一提的是,当和存在两个鞍点和一个中心躺在同一侧的奇异。因此,可能存在heteroclinic轨道系统(2.6)。我们将展示heteroclinic轨道的存在对系统(2.6)在一定条件下在以下分析。
当我们组的三个解决方案是,,(),分别。通过简单的计算,我们可以表达和的函数,也就是说,
它遵循从那必须满足条件
从,我们获得的表达的函数,
用(2.20),我们获得的表达从如下:
我们可以很容易地知道(2.22)不满足(2.19),(2.21)满足(2.19),如果。
注意,如果,那么很明显。此外,我们表明,当和存在两个鞍点和一个中心躺在同一侧的奇异。因此,我们获得第四临界曲线从,
因此,我们可以表达如下heteroclinic轨道的存在。
引理2.3。(1)和,存在heteroclinic轨道系统(2.6)。(2)或,不存在heteroclinic轨道系统(2.6)。
证明。注意,当(或),一个鞍点和一个中心点躺在左边的奇异和其他鞍点的右边(或)单数行。因此,引理2.3之前很容易从上面的分析。
因此,基于上述分析,我们得到分岔的阶段为系统(肖像2.6)的数据2,3,4,5,6,7,8在相应的条件下。
3所示。主要结果的主要结果和理论推导
在本节中,我们国家我们的结果对孤子,扭结(次方)解决方案,peakons,周期性尖波第一组件的系统(1.1)。联系方便,我们省略和第二个组成部分的表达系统(1.1)下面的定理。
定理3.1。恒波速度,积分常数和,一个有以下。(1)如果,,满足下列条件之一:(我) 和;(2) 和;(3) 和;(iv) 和,然后存在孤子解(1.1),它可以隐式表示为 在哪里 (2)如果,,满足条件:(v) 和,然后存在孤子解(1.1),它可以隐式表示为 在哪里 如果,,满足下列条件之一:(vi) 和;(七) 和,然后存在孤波解(1.1),它可以隐式表示为 在哪里,,给出了(3所示。4),(3所示。5)和(3所示。6分别)。
3.2的话。(3所示。1)和(3所示。7)中给出的相同(1];然而,(3所示。3)不是(所示1]。
3.3的话。我们给所有可能的同宿轨图9,看来数据9 (b),9 (d),9 (e)不了1]。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
证明。(1)阶段肖像的人物2,3,4,5,6,7,8,我们看到,当,,满足的一个条件,(我),(2),(3),或(iv),同宿轨存在作为单独的显示数据9(一个),9 (b),或9 (d)。同宿轨的表达式可以如下:
用(3所示。8)的第一个方程系统(2.6沿着同宿轨)和集成,它遵循
从(3所示。9),我们获得孤子的解决方案(3所示。1)。
(2)当,,满足的一个条件,即(v), (vi),或(七),同宿轨存在单独的显示数据9 (c)或9 (e)。同宿轨的表达式可以如下:
或
用(3.10)和(3.11)的第一个方程系统(2.6沿着同宿轨)和集成,它遵循
从(3.12),我们获得孤子的解决方案(3所示。3)和(3所示。7)。
定理3.4。如果积分常数和满足和,然后存在扭结次方的解决方案。
证明。我们已经表明,当和,存在heteroclinic轨道系统(2.6)。heteroclinic可以表示为
在哪里
这可以用(2.23)(2.11)。
用(3.13)的第一个方程系统(2.6沿着heteroclinic轨道)和集成,它遵循
在哪里是初始值。
从(3.15),我们有
如果我们把,(3.16)成为
(3.16)或(3.17)扭结(次方)的解决方案。
定理3.5。(1)如果和,然后存在peakons (1.1),它可以显式地表示为
(2)如果和,然后(1.1)周期性尖波
在哪里,,
与
3.6的话。当系统(2.8Fornberg-Whitham)是准确的平面系统的方程(8,9),和peakons (3.18)和周期性尖波(3.19)的相同9]。
证明。(1)当和,从图5,我们看到有一个三角轨道,可以表示为
用(3.22)的第一个方程系统(2.6沿着三角轨道)和集成,它遵循
从(3.24),我们获得peakons (3.18)。
(2)当和,从图4,我们看到有一种半椭圆轨道,可以表示为
用(3.25)的第一个方程系统(2.6沿着半椭圆轨道)和集成,它遵循
从(3.27),我们获得周期性尖波(3.19)和(3.20)和(3.21)。
3.7的话。我们的结果是更普遍比(10从的角度参数,因为结果(10)获得的积分常数设置为一个特殊的值(在[10]),而我们的研究结果是在所有可能的参数条件下获得的。
3.8的话。本文系统研究了相对复杂的所有参数。这就是为什么粉丝et al。1)没有显示具体的参数条件扭结(次方)的解决方案。然而,我们找到一个新的方式来获得准确的显式参数条件扭结(次方)解决方案和更一般的条件下获得孤子。
4所示。结论
根据以前的文献[1),我们进一步研究行波解的分支,双组分Fornberg-Whitham方程,所有可能的阶段确定地画像,并显示所有的显式参数条件下存在孤子和扭结(或次方)解决方案(1.1)。此外,我们获得peakons周期性尖波和显式表达式(1.1)。我们的扩展先前的研究结果1肖像],它只给一些可能的阶段,一些待定参数的条件下,一些隐式表达式孤波和扭结(或次方)的解决方案。
承认
这项研究是由华侨大学(不支持。12 bs223)。