文摘
基于研究Hyers-Ulam稳定和一些Pexider-quadratic功能的正交稳定方程,在本文中,我们发现两个二次函数方程的一般解Pexider类型。在限制域两个方程进行了研究:第一个方程研究的限制域正交向量的Ratz,第二个方程是在正交向量内积空间与通常的正交性。
1。介绍
稳定性问题对一些功能方程由几个作者都进行了广泛的调查,特别是最重要的一个函数方程研究了主题是二次函数方程, (Skof [1],Cholewa [2],Czerwik [3],Rassias [4)等)。
最近,许多文章都致力于研究的稳定或正交二次函数方程的稳定性Pexider类型的限制域上正交向量Ratz的感觉。
我们提醒正交空间的定义(见[5])。这一对称为正交空间的Ratz如果是一个真正的向量空间和是一个二元关系以下属性:(我) ,对所有,(2)如果,,那么向量是线性无关的,(3)如果,,然后对所有,(iv)让是一个二维子空间。如果然后存在这样和。的关系被称为对称如果意味着。
正交性的一个例子的Ratz是普通正交性在一个内积空间给出的 。
在课堂上真正的泛函,定义在一个正交空间Ratz的感觉,第一个版本的Pexider类型的二次方程 及其相关条件形式 尽管Hyers-Ulam稳定条件的二次函数方程(1.3)已经被Moslehian研究[6),我们不知道条件方程的解的特征(1.3)。
在同一类的函数,另一个版本的Pexider类型的二次函数方程 及其相关条件形式 方程(1.4)已经解决了《et al。7];它的稳定性进行了研究,通过荣格和Sahoo [8和杨9)及其正交稳定性研究Mirzavaziri和Moslehian [10),而且在这种情况下,我们不知道的一般解决方案(1.5)。
基于这些研究,我们打算考虑上述功能方程(1.3)和(1.5)限制域正交向量来描述的通用解决方案。
在整个论文中,正交性的Ratz被认为是对称的。
2。有条件的方程 在正交空间Ratz的感觉
在课堂上真正的泛函,定义在一个正交空间Ratz的感觉,,让我们考虑条件方程(1.3)。
我们首先假设描述其解决方案是一个奇怪的功能,然后甚至功能,最后,利用泛函,分解为偶数和奇数的部分,我们将描述一般的解决方案。
定理2.1。让是真正的泛函,满足(1.3)。
如果是一个奇怪的功能,然后的解决方案(1.3)是由
在哪里是一个加法函数,的解决方案对所有。
如果甚至是一个功能的解决方案(1.3)是由
在哪里是一个垂直的二次函数,解决吗为。
证明。让我们首先考虑一个奇怪的功能。让和在(1.3),奇怪的,我们获得
现在,把在的地方在(1.3),我们有,然后再把在的地方我们得到了对所有,因为是奇数。第一个方程为
从(2.3),最后方程证明了
使用(2.3再一次)。
从上面的结果,(1.3)可以重写在以下方式:对所有。因此通过引理3.1,(6),我们有在哪里是一个垂直的附加功能。但自和从5定理5],我们推断出到处都是添加剂。
考虑现在一个更实用。用(1.3)在的地方,我们获得
现在写(1.3),分别取代了第一,然后由,我们得到
对所有,因为是偶数。从(1.3),使用(2.7),(2.8)和(2.6),我们得到
因此,设置,我们推断为,也就是说,是一个垂直的二次函数。所以,,从(2.7),使用(2.6),,从(2.8),=。
这个定理证明。
引理2.2。让是真正的泛函,满足(1.3)。
然后甚至部分和奇怪的地方,即和满足(1.3)。
证明。表示由和偶数和奇数的部分,分别的我们从(1.3)
同质性的正交关系(属性(3))
所以,(1.3),选择,我们得到
增加然后减少(2.10)和(2.11),我们很容易证明引理。
从引理2.2和定理2.1,我们可以轻松证明以下定理。
定理2.3。的通解函数方程(1.3)是由 在哪里是一个加法函数和是一个垂直的二次函数。
在一个内积空间()这是一个特殊的正交空间Ratz的感觉,与普通的正交性 的特性,我们采用正交二次映射从[11定理2]。因此我们有以下推论。
推论2.4。让H是一个内积空间和。函数方程的通解(1.3)是由 在哪里是一个加法函数和是一个二次函数。
3所示。有条件的方程内积空间
考虑现在一个内积空间和通常的正交性 。在课堂上真正的泛函,上定义,我们认为条件方程(1.5)。
首先证明下面的引理。
引理3.1。让的解决方案(1.5);然后 在哪里是一个加法函数和是一个二次函数。
证明。更换(1.5)通过,然后由最后通过,我们获得(我) ,(2) ,(3) 。因此(1.5)可以写成 因此,设置和,我们推断 现在,用在(3.3在的地方,我们有 添加(3.3)和(3.4),我们得到 因此,定义的功能通过 上面的方程变成了 从[11定理3),我们有 在哪里是一个加法函数和是一个二次函数。从(3.6),我们有,也就是说,。使用(2)和(i),左边上面的方程可以用以下方式:;因此我们得到。这个定理证明。
我们现在的目的是描述的一般解决方案(1.5):这是获得使用泛的分解偶数和奇数的部分。使用同样的方法的引理2.2,我们很容易证明下面的引理。
引理3.2。让是真正的泛函,满足(1.5)。
然后甚至部分和奇怪的地方,即和满足(1.5),也就是说,
现在考虑(3.9):描述的解决方案由以下给出定理。
定理3.3。让真正奇怪的泛函,满足(3.9);的解决方案(3.9)是由 在哪里和是附加的功能。
证明。用(3.9)第一,然后在的地方,通过和奇怪的函数,我们获得 增加然后减少上面的方程,我们得到的 由(3.1),从上面的方程,因此, 考虑现在与。写作(3.14),而不是和(3.15),而不是,我们得到 添加上述方程,从(3.9),的可加性和,我们获得 为。的对称正交关系,我们得到改变和和奇怪的功能, 因此为。由(5定理5],是一个加法函数;因此,存在一个加法函数这样对所有。现在(3.14)和(3.15)给和,所以定理证明。
最后,考虑方程(3.10):描述的解决方案由以下给出定理。
定理3.4。让甚至是真实的泛函,满足(3.10);然后有一个二次函数和一个函数这样
证明。从引理3.1,我们首先注意到 用现在在(3.10)第一然后而不是分别时,我们获得 因此,通过减法和(3.20),我们有 替换(3.20)和(3.22)(3.10)给 然后,我们用在的地方在(3.23),并 对所有。因此,对在(3.24),我们得到 现在减去(3.23)和(3.24),我们得到对所有。考虑与:它遵循我们可以替换,因此在上面的方程与,,分别。我们获得,也就是说,对所有与。因此,函数是恒定在每个球体中心吗,定义良好的 因此(3.25)和(3.26)导致 完成了证明。
最后,总体解决方案(1.5)的特点是下面的定理。
定理3.5。让是真正的泛函,满足(1.5);然后存在添加剂的功能,,一个二次函数,一个函数这样 相反,上面的泛函,满足(1.5)。