文摘
让是单位球在一个复杂的巴拿赫空间。假设是均匀的。泛化的Schwarz-Pick估计建立了任意阶偏导数的全纯映射单元球来与Caratheodory相关指标,延长相应的陈和刘,戴等人的结果。
1。介绍
经典选的不变量形式的施瓦兹引理,全纯函数由一个有界在单位圆吗满足以下inequlity 每一点d . Ruscheweyh的(1)首先获得最好的估计的高阶导数有界1985年单位圆盘上全纯函数。最近,大量的关注(见Ghatage et al。2),MacCluer et al。3],Avkhadiev和wirth [4),Ghatage和郑5[],戴和平底锅6])已支付给Schwarz-Pick估计的高阶导数估计在一个复杂的变量。最好的结果是如下:
很自然要考虑上述Schwarz-Pick估计更高维度的延伸。安德森et al。7)给Schwarz-Pick估计任意阶导数的函数在单位polydisk Schur-Agler类的单位球,分别。最近,陈和刘在[8)估计的高阶导数有界获得全纯函数的单位球上。后,戴笠等人在9,10)广义高阶Schwarz-Pick估计全纯映射单元球之间复杂的希尔伯特空间。他们的主要结果是表示如下。
定理。假设是全纯映射来。然后对任何multiindex和, 在哪里和伯格曼是度量。
在本文中,我们将扩展定理的全纯映射单元球来与Caratheodory相关指标。特别是,当,结果正好与定理a。此外,我们的结果表明,单位球上的高阶Schwarz-Pick估计依赖于图像的几何属性域。
在这篇文章中,象征是用来表示一个复杂的巴拿赫空间与规范,是单位球吗。让的空间复杂的变量欧几里得内积,符号的代表向量或矩阵的转置。的单位球总是写的。众所周知,如果全纯映射来自哪里成,那么以下著名的扩张 适用于所有在一些社区的,在那里意味着th邻导在点, 此外,是一个有界的对称线性映射成。为一个域,一个映射被称为双全纯的如果是一个域;逆存在,是正则的。让表示组双全纯的映射到自己。据说是均匀的,如果每一对点吗,有一个这样。
在multiindex符号,是一个元组的非负整数,,,。
让伯格曼核函数。然后伯格曼度量可以被定义为 在哪里。众所周知,在[9]。
让无穷小的Caratheodory度量形式的领域。由Caratheodory度量的定义(11),我们对任何, 在哪里表示家庭全纯映射的映射成。
2。一些前题
为了证明的主要结果,我们需要下面的前题。让是单位球在一个复杂的巴拿赫空间,是均匀的。
引理2.1(见[11])。如果,然后 特别是,当双全纯的映射,那么。
引理2.2(见[12])。考虑以下:
引理2.3。让。然后可以用下面的- variable给出的幂级数 然后下面的保存 对于任何一个整数。
证明。固定的,我们定义
然后。很明显,
全纯函数的幂级数展开,我们得到
的同质性,我们可以和,然后。这意味着
利用正交性,我们获得
因此,
这意味着下面的不平等
适用于任何。因此,
适用于任何。这意味着。
的前题2.1和2.2,我们获得
这是期望的结果。
3所示。主要结果
定理3.1。让是一个全纯映射。然后下面的不平等 适用于和。
证明。让是一个全纯函数定义为
然后可以写成一个幂级数如下:
为了获得定理3所示。1,我们需要证明下列等式:
让这样柯西积分公式说明
因此,
让。然后
用(3所示。7)(3所示。6),我们得到
这证明平等(3所示。4)。
从引理2.3,我们对任何整数,
这意味着
完成了预期的结果。
3.2的话。如果,那么不平等(3所示。1)减少 伴随着定理1.1的戴和锅6在一个复杂的变量。
定理3.3。让是一个全纯映射。然后下面的不平等 适用于,和。
证明。对于任何固定,。定义以下磁盘:
请注意,。因此,
也就是说,
集。固定的和,我们定义
然后从单位全纯映射磁盘吗齐次域。
根据定理3所示。1的功能和,我们有
这适用于。自,
我们用链式法则,
因此,
注意Caratheodory度量的定义和在[11),我们可以得到
这给了案件的证据和。对于一般的向量,我们可以替代为。均匀的从上面的不平等,我们可以获得相同的结果,这就完成了这个定理的证明3所示。3。
3.4的话。如果,然后和。因此,这个定理3所示。3降低到定理建立了戴et al。9]。
确认
作者诚恳地感谢裁判的彻底的回顾与有用的建议和评论。作者还想表达这种感谢刘洋博士给他一些有用的讨论。这项工作得到了国家自然科学基金(11001246号,11101139),浙江省NSF (Y6110053 Y6110260号,和LQ12A01004),和浙江创新项目(没有。T200905)。