文摘
一双新的嵌入式显式龙格-库塔修改(RK)径向薛定谔方程的数值积分方法。两RK方法对代数订单5和4个,分别。嵌入的两种方法对由消除相位滞后的派生,5次的相位滞后的一阶导数方法,和四阶方法的相位滞后。νmerical实验表明新方法的效率和鲁棒性而在文献中一些著名的集成商。
1。介绍
在分子动力学、量子物理学和化学,没有其他方程研究了比薛定谔方程[更深刻1- - - - - -3]。一维薛定谔方程的形式 在哪里是一个真正的数字表示能源,函数是有效的潜在令人满意的作为。数值方法有很多,如指数拟合和安装阶段集成商基于薛定谔方程的解的振荡性质(1.1)(见,例如,(4- - - - - -13])。在[7),单和Aguiar建造了一个修改龙格-库塔方法对薛定谔方程的数值积分相拟合的基础上,基于RK方法。最近,Vyver改进这种方法,给嵌入式一双修改RK方法消除基于色散(相位滞后)的方法和四阶方法(5]。
在这篇文章中,我们推导出一种新的相位拟合RK嵌入对消除相位滞后,基于相位滞后的一阶导数的方法,和四阶方法的相位滞后。
2。订单状况和阶段的属性修改龙格-库塔方法
2.1。修改龙格-库塔方法
数值积分的一阶微分方程的初值问题 我们考虑到阶段修改表单的显式龙格-库塔方法 可以表示在屠夫表 或者说由三联体(),,,,。后,指数拟合的方法和/或相位拟合在5,7,14),frequency-depending参数,,介绍了传统的RK方法适应振荡特性的解决问题的办法15- - - - - -27),例如,在本文中,以减少色散和/或耗散(参见下一节)。
中给出的代数阶条件(28)不适合修改RK方法(2。2)。写作 在哪里,,3 - 5个订单状况如下(见Vyver [5])。(我)订单3要求 (2)订单4要求,此外 (3)订单5要求,此外
2.2。修改后的龙格-库塔方法的色散和损耗
应用修改RK方法(2。2微分方程)测试 收益率 在哪里 与的单位矩阵。
定义2.1。的数量 被称为色散(或相位滞后)和耗散(或放大系数误差)的方法(2。2),分别。和方法是分散的秩序和耗散的秩序如果 分别。
写作 我们有 从公式(2.10),和多项式的: 是完全由哪一个,,,。
3所示。建设新的嵌入式
在本节中,我们关心的是嵌入式修改由屠夫表简化表示 选择嵌入式RK5,古典对派生Dormand和王子(29日是恢复,方法订单5,是四个。应该注意的是,第一个方法这双股FSAL属性,它只使用六个函数评估每一步有七个阶段。单和•阿吉亚尔7)提出修改阶段安装RK方法通过确定单参数。这种方法后,Vyver [5安装嵌入式RK5)建造了一个阶段对。在本节中,我们的主要目的是获得更高效的嵌入式RK一对。
灵感来自于思想(30.- - - - - -40),变量表达式的分散(见单(41]),我们计算高阶方法和色散的色散的色散的低阶方法和一阶导数的高阶方法对(3.1)如下: 在这 解决系统的(3.2我们获得 在哪里 对于小的值说,,上述公式受到沉重的取消航班,在这种情况下必须使用下面的泰勒级数扩张 很容易检查新一对(两个方案3.1),值(3.5)的代数订单5和4个,分别。所消耗的泰勒级数的新的基于方法和四阶方法 分别。
4所示。稳定性分析
在本节中,我们感兴趣的阶段特性的新方法。兰伯特和沃森的稳定性理论42)被科尔曼和Ixaru重新考虑(43)的周期性exponentially-fitted对称的方法。Vyver [44)这个理论RK方法制定。Van de Vyver的想法后,我们考虑测试方程 应用修改RK方法(3.1)测试(4.1)收益率差分方程 在哪里 与的单位矩阵。
定义4.1。修改后的RK方法(3.1)与稳定的功能,数量 被称为相位滞后(分散)和放大系数误差(损耗),分别。如果 的方法是相位滞后订单 和耗散秩序 分别的地方和被称为“相位滞后常数和电离常数,分别。
为方便分析相位滞后和耗散,我们表示比率。然后所消耗的相位滞后和高阶方法和低阶方法 分别。因此,高阶方法的相位滞后订单6和耗散的订单5和相位滞后阶的低阶方法四、耗散秩序五。
5。数值实验
在本节中,我们将比较的数值性能新的搭配一些现有的知名的方法提出了科学文献。
5.1。与固定步长方法
选择以下固定步长方法比较:(我)PHARK5S:相位拟合5次RK方法导出了单(6];(2)MODPHARK5S:修改后的阶段安装5次RK方法通过极点和•阿吉亚尔(7];(3)MODPHARK5V:高阶的方法安装嵌入式RK5修改阶段对获得的Vyver在[5];(iv)ARK5:适应基于RK方法由方舟子等人在45];(v)新一对MODDPHARK5:高阶方法。
我们认为,薛定谔方程的数值积分(1.1),著名的Woods-Saxon潜力 在这,,,。域的数值积分。它是合适的选择如下(5,46]: 在数值实验中我们考虑共振问题(),数值结果与解析解相比Woods-Saxon的潜力,圆形到6位小数。在数据1,2,3,4,我们策划的误差对积分步长(),分别。
5.2。与变步长方法
接下来,我们选择以下嵌入式RK5双:(我)PHARK5S:嵌入式RK5相符合对导出了单(6];(2)MODPHARK5V:安装嵌入式RK5修改阶段对获得的Vyver在[5];(3)MODDPHARK5:新嵌入式RK5对给定的。
我们认为,薛定谔方程的数值积分(1.1)与著名的Lennard-Jones潜在(见[5]) 我们计算一些潜在的相移。在数值结果,我们正确计算相移四位小数的能量和。我们选择合适的频率。相位偏移的计算,我们展示的数量评估函数的函数在数据5- - - - - -6。
数据1- - - - - -6表明我们的新方法比其他方法更有效的选择进行比较。
6。结论和讨论
一种新的修改阶段明确嵌入式安装RK一对数值积分的径向薛定谔方程提出了。这副新的基于古典RK5对获得的Dormand和王子29日]。安装相技术可以被视为一种进步的想法(5,7,30.,31日]。这两个方案在这双的订单5和4个,分别。数值实验证明的有效性和能力的新鞋。
确认
作者非常感谢匿名裁判建设性意见和有价值的建议。这项研究部分由国家自然科学基金委(不支持。11101357),山东的基础(没有杰出青年科学家奖项目。BS2010SF031),山东大学的科研项目的基础(没有。J11LG69),中国山东省NSF(没有。ZR2011AL006), NSF安徽大学、中国(没有。KJ2010A248),滁州大学科研启动基金,中国(没有。2010 qd03)。